Question

Para $t = 1, 2, 3, 4,$ define $S_t = \sum_{i=1}^{350} a_i^t,$ donde $a_i \in \{1, 2, 3, 4\}.$ Si $S_1 = 513$ y $S_4 = 4745,$ halla el valor mínimo posible de $S_2.$

For $t = 1, 2, 3, 4,$ define $S_t = \sum_{i=1}^{350} a_i^t,$ where $a_i \in \{1, 2, 3, 4\}.$ If $S_1 = 513$ and $S_4 = 4745,$ find the minimum possible value for $S_2.$

Respuesta

Solución:

Para $j = 1, 2, 3, 4,$ sea $m_j$ el número de $a_i$ iguales a $j.$ Entonces $\begin{aligned} &m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 350, \\ &m_1 + 2m_2 + 3m_3 + 4m_4 = 513, \\ &m_1 + 16m_2 + 81m_3 \\ &\quad {}+ 256m_4 = 4745. \end{aligned}$

Restar la primera ecuación de las otras dos da $m_2 + 2m_3 + 3m_4 = 163$ y $15m_2 + 80m_3 + 255m_4 = 4395;$ restar $15$ veces la primera de la segunda deja $50m_3 + 210m_4 = 1950,$ es decir, $5m_3 + 21m_4 = 195.$ Por tanto $m_4$ es un múltiplo no negativo de $5,$ y solo $m_4 = 0$ y $m_4 = 5$ mantienen todo no negativo, dando $(m_1, m_2, m_3, m_4)$ $= (226, 85, 39, 0)$ o $(215, 112, 18, 5).$

Estos dan $S_2 = m_1 + 4m_2$ $+ 9m_3 + 16m_4$ $= 917$ y $905$ respectivamente, así que el mínimo es $905.$

For $j = 1, 2, 3, 4,$ let $m_j$ be the number of $a_i$ equal to $j.$ Then $\begin{aligned} &m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 350, \\ &m_1 + 2m_2 + 3m_3 + 4m_4 = 513, \\ &m_1 + 16m_2 + 81m_3 \\ &\quad {}+ 256m_4 = 4745. \end{aligned}$

Subtracting the first equation from the other two gives $m_2 + 2m_3 + 3m_4 = 163$ and $15m_2 + 80m_3 + 255m_4 = 4395;$ subtracting $15$ times the former from the latter leaves $50m_3 + 210m_4 = 1950,$ that is, $5m_3 + 21m_4 = 195.$ Hence $m_4$ is a nonnegative multiple of $5,$ and only $m_4 = 0$ and $m_4 = 5$ keep everything nonnegative, giving $(m_1, m_2, m_3, m_4)$ $= (226, 85, 39, 0)$ or $(215, 112, 18, 5).$

These yield $S_2 = m_1 + 4m_2$ $+ 9m_3 + 16m_4$ $= 917$ and $905$ respectively, so the minimum is $905.$

2009 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años