Respuesta: 127

Pista pequeña:

Muestra que basta con que $251$ aparezca inmediatamente después del punto decimal, así que $\frac{251}{1000} \le \frac{m}{n} \lt \frac{252}{1000}$.

Pista grande:

Usa las fracciones vecinas $\frac14 \lt \frac{32}{127} \lt \frac{63}{250}:$ cada par adyacente tiene diferencia cruzada $1,$ lo que da una cota inferior para los denominadores de las fracciones que quedan entre ellas.

Solución:

Basta con hacer que $251$ aparezca inmediatamente después del punto decimal. En efecto, si $\frac{m}{n} = 0.A251\ldots$, donde $A$ es un bloque de $k \ge 1$ dígitos, entonces $10^k \frac{m}{n} - A = 0.251\ldots$ es una fracción entre $0$ y $1$ cuyo denominador reducido no supera $n.$ Así que buscamos el menor $n$ para el cual existe un $m$ que satisface $$\frac{251}{1000} \le \frac{m}{n} \lt \frac{252}{1000},$$ es decir, $$0 \le 1000m - 251n \lt n.$$

La fracción $\frac{32}{127}$ pertenece a este intervalo porque $$\frac{251}{1000} \lt \frac{32}{127} \lt \frac{63}{250} = \frac{252}{1000}.$$ Falta demostrar que ningún denominador menor funciona. Usamos el siguiente hecho elemental: si $\frac{a}{b} \lt \frac{u}{v} \lt \frac{c}{d}$ y $bc-ad=1,$ entonces $$\begin{aligned} v &= b(cv-du)+d(bu-av) \\ &\ge b+d, \end{aligned}$$ porque las dos expresiones entre paréntesis son enteros positivos.

Ahora $4\cdot32-1\cdot127=1$ y $127\cdot63-32\cdot250=1.$ Por lo tanto, toda fracción estrictamente entre $\frac14$ y $\frac{32}{127}$ tiene denominador al menos $4+127=131,$ mientras que toda fracción estrictamente entre $\frac{32}{127}$ y $\frac{63}{250}$ tiene denominador al menos $127+250=377.$ Como el intervalo buscado está contenido en $\left(\frac14,\frac{63}{250}\right)$ y contiene $\frac{32}{127},$ ninguna fracción del intervalo tiene denominador menor que $127.$

El menor valor posible de $n$ es $127.$