Question

La representación decimal de $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí y $m \lt n,$ contiene los dígitos $2, 5,$ y $1$ de forma consecutiva, y en ese orden. Halla el menor valor de $n$ para el cual esto es posible.

The decimal representation of $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers and $m \lt n,$ contains the digits $2, 5,$ and $1$ consecutively, and in that order. Find the smallest value of $n$ for which this is possible.

Respuesta

Solución:

Basta con hacer que $251$ aparezca inmediatamente después del punto decimal: si $\frac{m}{n} = .A251\ldots$ con $A$ un bloque de $k \ge 1$ dígitos, entonces $10^k \frac{m}{n} - A = .251\ldots$ es una fracción entre $0$ y $1$ cuyo denominador reducido es a lo sumo $n.$ Así que necesitamos el menor $n$ que admita un $m$ con $\frac{251}{1000} \le \frac{m}{n} \lt \frac{252}{1000},$ es decir $0 \le 1000m - 251n \lt n.$

Así, $251n$ debe caer a menos de $n$ por debajo de un múltiplo de $1000.$ Prueba con $n = 4m - 1:$ entonces $251n = 251(4m - 1)$ $= 1000m + (4m - 251),$ así que para $m \le 62$ esto queda por debajo de $1000m$ en $251 - 4m.$ El requisito $251 - 4m \lt n = 4m - 1$ da $m \gt 31.5,$ así que $m = 32$ y $n = 127$ funcionan: en efecto $\frac{32}{127} = .2519\ldots$ Una breve comprobación de la misma desigualdad muestra que ningún $n$ menor coloca $1000m$ a menos de $n$ por encima de un múltiplo de $251,$ ya que el déficit $251 - 4m$ (o sus análogos para otros residuos) sigue siendo demasiado grande.

El menor valor posible de $n$ es $127.$

It suffices to make $251$ appear immediately after the decimal point: if $\frac{m}{n} = .A251\ldots$ with $A$ a block of $k \ge 1$ digits, then $10^k \frac{m}{n} - A = .251\ldots$ is a fraction between $0$ and $1$ whose reduced denominator is at most $n.$ So we need the smallest $n$ admitting an $m$ with $\frac{251}{1000} \le \frac{m}{n} \lt \frac{252}{1000},$ that is $0 \le 1000m - 251n \lt n.$

Thus $251n$ must land within $n$ below a multiple of $1000.$ Try $n = 4m - 1:$ then $251n = 251(4m - 1)$ $= 1000m + (4m - 251),$ so for $m \le 62$ this lies below $1000m$ by $251 - 4m.$ The requirement $251 - 4m \lt n = 4m - 1$ gives $m \gt 31.5,$ so $m = 32$ and $n = 127$ work: indeed $\frac{32}{127} = .2519\ldots$ A short check of the same inequality shows no smaller $n$ puts $1000m$ within $n$ above a multiple of $251,$ since the deficit $251 - 4m$ (or its analogues for other residues) stays too large.

The smallest possible value of $n$ is $127.$

2003 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años