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2009 AIME II Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2009 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2009 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

La sucesión (an)(a_n) satisface a0=0a_0 = 0 y an+1=85an+654n−an2a_{n+1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2} para n≥0.n \ge 0. Halla el mayor entero menor o igual que a10.a_{10}.
The sequence (an)(a_n) satisfies a0=0a_0 = 0 and an+1=85an+654n−an2a_{n+1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2} for n≥0.n \ge 0. Find the greatest integer less than or equal to a10.a_{10}.
Respuesta: 983
Conceptos:recursiónidentidad trigonométricasustitución
Nivel de dificultad: 3160
Pista pequeña:
Prueba an=2nsin⁡θn:a_n = 2^n \sin\theta_n: entonces 4n−an2=2n ∣cos⁡θn∣\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n| y la recursión es la suma de ángulos con θ=arcsin⁡35\theta = \arcsin\frac{3}{5}
Try an=2nsin⁡θn:a_n = 2^n \sin\theta_n: then 4n−an2=2n ∣cos⁡θn∣\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n| and the recursion is angle addition with θ=arcsin⁡35\theta = \arcsin\frac{3}{5}
Pista grande:
Como 30∘<θ<45∘,30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ, el ángulo sube hasta 3θ,3\theta, cuyo coseno es negativo, y luego oscila entre 2θ2\theta y 3θ3\theta
Since 30∘<θ<45∘,30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ, the angle climbs to 3θ,3\theta, whose cosine is negative, and then oscillates between 2θ2\theta and 3θ3\theta
Solución:
Escribe an=2nsin⁡θna_n = 2^n \sin\theta_n con θ0=0,\theta_0 = 0, así que 4n−an2=2n ∣cos⁡θn∣.\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n|. Sea θ=arcsin⁡35,\theta = \arcsin\frac{3}{5}, de modo que cos⁡θ=45.\cos\theta = \frac{4}{5}. La recursión se convierte en an+1=2n+1⋅(cos⁡θsin⁡θn+sin⁡θ ∣cos⁡θn∣)=2n+1sin⁡(θn±θ), \begin{aligned} &a_{n+1} \\ &= 2^{n+1} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\theta \sin\theta_n + \sin\theta\,|\cos\theta_n|\right) \\ &= 2^{n+1}\sin(\theta_n \pm \theta), \end{aligned} con el signo más cuando cos⁡θn≥0\cos\theta_n \ge 0 y el signo menos cuando cos⁡θn<0.\cos\theta_n \lt 0.
Como 12<35<22,\frac{1}{2} \lt \frac{3}{5} \lt \frac{\sqrt{2}}{2}, tenemos 30∘<θ<45∘.30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ. Los ángulos θ,\theta, 2θ2\theta tienen coseno positivo, así que la sucesión de ángulos avanza 0,0, θ,\theta, 2θ,2\theta, 3θ.3\theta. Pero 90∘<3θ<135∘90^\circ \lt 3\theta \lt 135^\circ tiene coseno negativo, así que θ4=2θ,\theta_4 = 2\theta, y de ahí en adelante el ángulo alterna entre 3θ3\theta y 2θ.2\theta. En particular θn=2θ\theta_n = 2\theta para todo entero par n≥2.n \ge 2.
Como sin⁡2θ=2⋅35⋅45=2425,\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}, a10=210sin⁡2θ=1024⋅2425=2457625=983.04, \begin{aligned} a_{10} &= 2^{10} \sin 2\theta \\ &= 1024 \cdot \frac{24}{25} \\ &= \frac{24576}{25} = 983.04, \end{aligned} así que la respuesta es 983.983.
Write an=2nsin⁡θna_n = 2^n \sin\theta_n with θ0=0,\theta_0 = 0, so 4n−an2=2n ∣cos⁡θn∣.\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n|. Let θ=arcsin⁡35,\theta = \arcsin\frac{3}{5}, so cos⁡θ=45.\cos\theta = \frac{4}{5}. The recursion becomes an+1=2n+1⋅(cos⁡θsin⁡θn+sin⁡θ ∣cos⁡θn∣)=2n+1sin⁡(θn±θ), \begin{aligned} &a_{n+1} \\ &= 2^{n+1} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\theta \sin\theta_n + \sin\theta\,|\cos\theta_n|\right) \\ &= 2^{n+1}\sin(\theta_n \pm \theta), \end{aligned} with the plus sign when cos⁡θn≥0\cos\theta_n \ge 0 and the minus sign when cos⁡θn<0.\cos\theta_n \lt 0.
Since 12<35<22,\frac{1}{2} \lt \frac{3}{5} \lt \frac{\sqrt{2}}{2}, we have 30∘<θ<45∘.30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ. The angles θ,\theta, 2θ2\theta have positive cosine, so the sequence of angles runs 0,0, θ,\theta, 2θ,2\theta, 3θ.3\theta. But 90∘<3θ<135∘90^\circ \lt 3\theta \lt 135^\circ has negative cosine, so θ4=2θ,\theta_4 = 2\theta, and from then on the angle alternates between 3θ3\theta and 2θ.2\theta. In particular θn=2θ\theta_n = 2\theta for every even n≥2.n \ge 2.
With sin⁡2θ=2⋅35⋅45=2425,\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}, a10=210sin⁡2θ=1024⋅2425=2457625=983.04, \begin{aligned} a_{10} &= 2^{10} \sin 2\theta \\ &= 1024 \cdot \frac{24}{25} \\ &= \frac{24576}{25} = 983.04, \end{aligned} so the answer is 983.983.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

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