Solución:

Escribe $a_n = 2^n \sin\theta_n$ con $\theta_0 = 0,$ así que $\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n|.$ Sea $\theta = \arcsin\frac{3}{5},$ de modo que $\cos\theta = \frac{4}{5}.$ La recursión se convierte en $$\begin{aligned} &a_{n+1} \\ &= 2^{n+1} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\theta \sin\theta_n + \sin\theta\,|\cos\theta_n|\right) \\ &= 2^{n+1}\sin(\theta_n \pm \theta), \end{aligned}$$ con el signo más cuando $\cos\theta_n \ge 0$ y el signo menos cuando $\cos\theta_n \lt 0.$

Como $\frac{1}{2} \lt \frac{3}{5} \lt \frac{\sqrt{2}}{2},$ tenemos $30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ.$ Los ángulos $\theta,$ $2\theta$ tienen coseno positivo, así que la sucesión de ángulos avanza $0, \theta, 2\theta, 3\theta.$ Pero $90^\circ \lt 3\theta \lt 135^\circ$ tiene coseno negativo, así que $\theta_4 = 2\theta,$ y de ahí en adelante el ángulo alterna entre $3\theta$ y $2\theta.$ En particular $\theta_n = 2\theta$ para todo entero par $n \ge 2.$

Como $\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25},$ $$\begin{aligned} a_{10} &= 2^{10} \sin 2\theta \\ &= 1024 \cdot \frac{24}{25} \\ &= \frac{24576}{25} = 983.04, \end{aligned}$$ así que la respuesta es $983.$