Question

Para un número real $x$ sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x,$ y defina $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ como la parte fraccionaria de $x.$ Por ejemplo, $\{3\} = 0$ y $\{4.56\} = 0.56.$ Defina $f(x) = x\{x\},$ y sea $N$ el número de soluciones reales de la ecuación $f(f(f(x))) = 17$ para $0 \le x \le 2020.$ Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

For real number $x$ let $\lfloor x \rfloor$ be the greatest integer less than or equal to $x,$ and define $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ to be the fractional part of $x.$ For example, $\{3\} = 0$ and $\{4.56\} = 0.56.$ Define $f(x) = x\{x\},$ and let $N$ be the number of real-valued solutions to the equation $f(f(f(x))) = 17$ for $0 \le x \le 2020.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

En $[k, k+1)$ con $k \ge 0$ entero, escriba $x = k + t;$ entonces $f(x) = (k + t)t$ es estrictamente creciente desde $0$ hacia $k + 1,$ así que $f$ aplica $[k, k+1)$ biyectivamente sobre $[0, k+1).$ Por lo tanto, para cualquier $c$ con $n \lt c \lt n + 1,$ la ecuación $f(w) = c$ tiene exactamente una solución en $[k, k+1)$ para cada entero $k \ge n,$ y ninguna otra.

La ecuación $f(z) = 17$ tiene una solución $z_n \in (n, n+1)$ para cada $n \ge 17.$ A su vez, $f(w) = z_n$ tiene una solución en $(k, k+1)$ para cada $k \ge n.$ Por último, para $x \in [j, j+1)$ con $0 \le j \le 2019,$ $f$ aplica $[j, j+1)$ biyectivamente sobre $[0, j+1),$ así que el número de soluciones de $f(f(f(x))) = 17$ ahí es igual al número de tales $w$ con $w \lt j + 1,$ es decir el número de pares $(n, k)$ con $17 \le n \le k \le j,$ que es $\binom{j - 15}{2}.$ (El extremo $x = 2020$ da $f(x) = 0$ y no es solución.)

Por la identidad del palo de hockey, $\begin{aligned} N &= \sum_{j=17}^{2019} \binom{j - 15}{2} \\ &= \sum_{a=2}^{2004} \binom{a}{2} \\ &= \binom{2005}{3} \\ &= \frac{2005 \cdot 2004 \cdot 2003}{6} \\ &= 1{,}341{,}349{,}010, \end{aligned}$ así que el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ es $10.$

On $[k, k+1)$ with $k \ge 0$ an integer, write $x = k + t;$ then $f(x) = (k + t)t$ is strictly increasing from $0$ toward $k + 1,$ so $f$ maps $[k, k+1)$ bijectively onto $[0, k+1).$ Hence for any $c$ with $n \lt c \lt n + 1,$ the equation $f(w) = c$ has exactly one solution in $[k, k+1)$ for each integer $k \ge n,$ and no others.

The equation $f(z) = 17$ has one solution $z_n \in (n, n+1)$ for each $n \ge 17.$ In turn, $f(w) = z_n$ has one solution in $(k, k+1)$ for each $k \ge n.$ Finally, for $x \in [j, j+1)$ with $0 \le j \le 2019,$ $f$ maps $[j, j+1)$ bijectively onto $[0, j+1),$ so the number of solutions of $f(f(f(x))) = 17$ there equals the number of such $w$ with $w \lt j + 1,$ namely the number of pairs $(n, k)$ with $17 \le n \le k \le j,$ which is $\binom{j - 15}{2}.$ (The endpoint $x = 2020$ gives $f(x) = 0$ and is not a solution.)

By the hockey stick identity, $\begin{aligned} N &= \sum_{j=17}^{2019} \binom{j - 15}{2} \\ &= \sum_{a=2}^{2004} \binom{a}{2} \\ &= \binom{2005}{3} \\ &= \frac{2005 \cdot 2004 \cdot 2003}{6} \\ &= 1{,}341{,}349{,}010, \end{aligned}$ so the remainder when $N$ is divided by $1000$ is $10.$

2020 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años