Question

Sea $P(x)$ un polinomio cuadrático con coeficientes complejos cuyo coeficiente de $x^2$ es $1.$ Suponga que la ecuación $P(P(x)) = 0$ tiene cuatro soluciones distintas, $x = 3, 4, a, b.$ Halle la suma de todos los valores posibles de $(a + b)^2.$

Let $P(x)$ be a quadratic polynomial with complex coefficients whose $x^2$ coefficient is $1.$ Suppose the equation $P(P(x)) = 0$ has four distinct solutions, $x = 3, 4, a, b.$ Find the sum of all possible values of $(a + b)^2.$

Respuesta

Solución:

Escriba $P(x) = x^2 + px + q$ con raíces $r_1$ y $r_2.$ Las soluciones de $P(P(x)) = 0$ se dividen en las dos soluciones de $P(x) = r_1$ y las dos de $P(x) = r_2,$ y cada par suma $-p.$

Si $3$ y $4$ forman un par, entonces $a + b = -p = 3 + 4 = 7,$ así que $(a + b)^2 = 49.$ Esto es alcanzable: $P(x) = (x - 3)(x - 4) + r_1$ con $r_1$ satisfaciendo $r_1^2 - 6r_1 + 12 = 0,$ que tiene soluciones (complejas), y las cuatro raíces son distintas.

En caso contrario $3$ y $4$ están en pares distintos: $3 + a = 4 + b = -p = s,$ y $\{P(3), P(4)\} = \{r_1, r_2\}.$ La suma de raíces da $P(3) + P(4) = 25 + 7p + 2q$ $= s,$ así que con $p = -s$ obtenemos $q = 4s - \frac{25}{2},$ y entonces $P(3) = s - \frac{7}{2}$ y $P(4) = \frac{7}{2}.$ El producto de raíces da $\frac{7}{2}\left(s - \frac{7}{2}\right) = q = 4s - \frac{25}{2},$ cuya solución es $s = \frac{1}{2}.$ Entonces $a + b = (s - 3) + (s - 4) = -6,$ así que $(a + b)^2 = 36,$ con $a = -\frac{5}{2},$ $b = -\frac{7}{2}$ todos distintos de $3$ y $4.$ La suma de todos los valores posibles es $49 + 36 = 85.$

Write $P(x) = x^2 + px + q$ with roots $r_1$ and $r_2.$ The solutions of $P(P(x)) = 0$ split into the two solutions of $P(x) = r_1$ and the two of $P(x) = r_2,$ and each pair sums to $-p.$

If $3$ and $4$ form one pair, then $a + b = -p = 3 + 4 = 7,$ so $(a + b)^2 = 49.$ This is achievable: $P(x) = (x - 3)(x - 4) + r_1$ with $r_1$ satisfying $r_1^2 - 6r_1 + 12 = 0,$ which has (complex) solutions, and the four roots are distinct.

Otherwise $3$ and $4$ lie in different pairs: $3 + a = 4 + b = -p = s,$ and $\{P(3), P(4)\} = \{r_1, r_2\}.$ The root sum gives $P(3) + P(4) = 25 + 7p + 2q$ $= s,$ so with $p = -s$ we get $q = 4s - \frac{25}{2},$ and then $P(3) = s - \frac{7}{2}$ and $P(4) = \frac{7}{2}.$ The root product gives $\frac{7}{2}\left(s - \frac{7}{2}\right) = q = 4s - \frac{25}{2},$ whose solution is $s = \frac{1}{2}.$ Then $a + b = (s - 3) + (s - 4) = -6,$ so $(a + b)^2 = 36,$ with $a = -\frac{5}{2},$ $b = -\frac{7}{2}$ all distinct from $3$ and $4.$ The sum of all possible values is $49 + 36 = 85.$

2020 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años