Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $f(n) = \sum_{k=1}^{100} \lfloor \log_{10}(kn) \rfloor.$ Halle el mayor valor de $n$ para el cual $f(n) \le 300.$

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$

For each positive integer $n,$ let $f(n) = \sum_{k=1}^{100} \lfloor \log_{10}(kn) \rfloor.$ Find the largest value of $n$ for which $f(n) \le 300.$

Note: $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo dígitos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Cada término $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ nunca decrece a medida que $n$ crece, así que $f$ es no decreciente; calcule $f(100) = 292$ como referencia

Each term $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ never decreases as $n$ grows, so $f$ is nondecreasing; compute $f(100) = 292$ as a baseline

Pista grande:

Para $n$ apenas mayor que $100,$ cuente los $k$ con $kn \ge 1000$ y los $k$ con $kn \ge 10000$ para ver exactamente cuándo $f(n)$ alcanza $300$

For $n$ slightly above $100,$ count the $k$ with $kn \ge 1000$ and the $k$ with $kn \ge 10000$ to see exactly when $f(n)$ reaches $300$

Solución:

Cada término $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ es no decreciente en $n,$ así que $f$ es no decreciente y basta localizar dónde supera $300.$ Para $n = 100:$ los productos $kn$ van de $100$ a $10^4,$ dando $\lfloor \log_{10} \rfloor = 2$ para $k \le 9,$ $3$ para $10 \le k \le 99,$ y $4$ para $k = 100,$ así que $f(100) = 9 \cdot 2 + 90 \cdot 3$ $+ 4 = 292.$

Para $n = 109:$ como $9 \cdot 109 = 981 \lt 1000$ y $91 \cdot 109 = 9919 \lt 10^4,$ los términos son $2$ para $k \le 9,$ $3$ para $10 \le k \le 91,$ y $4$ para $92 \le k \le 100:$ $\begin{aligned} f(109) &= 9 \cdot 2 + 82 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 9 \cdot 4 = 300. \end{aligned}$ Para $n = 110:$ ahora $91 \cdot 110 = 10010 \ge 10^4,$ así que diez términos valen $4$ y $f(110) = 18 + 81 \cdot 3$ $+ 10 \cdot 4 = 301 \gt 300.$

Por monotonía, el mayor $n$ válido es $109.$

Each term $\lfloor \log_{10}(kn) \rfloor$ is nondecreasing in $n,$ so $f$ is nondecreasing and we just locate where it passes $300.$ For $n = 100:$ the products $kn$ run from $100$ to $10^4,$ giving $\lfloor \log_{10} \rfloor = 2$ for $k \le 9,$ $3$ for $10 \le k \le 99,$ and $4$ for $k = 100,$ so $f(100) = 9 \cdot 2 + 90 \cdot 3$ $+ 4 = 292.$

For $n = 109:$ since $9 \cdot 109 = 981 \lt 1000$ and $91 \cdot 109 = 9919 \lt 10^4,$ the terms are $2$ for $k \le 9,$ $3$ for $10 \le k \le 91,$ and $4$ for $92 \le k \le 100:$ $\begin{aligned} f(109) &= 9 \cdot 2 + 82 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 9 \cdot 4 = 300. \end{aligned}$ For $n = 110:$ now $91 \cdot 110 = 10010 \ge 10^4,$ so ten terms equal $4$ and $f(110) = 18 + 81 \cdot 3$ $+ 10 \cdot 4 = 301 \gt 300.$

By monotonicity, the largest valid $n$ is $109.$

2010 AIME I Problema 14

Respuesta: 109

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años