Question

El rectángulo $ABCD$ y un semicírculo de diámetro $\overline{AB}$ son coplanares y tienen interiores que no se traslapan. Sea $\mathcal{R}$ la región encerrada por el semicírculo y el rectángulo. La recta $\ell$ corta al semicírculo, al segmento $\overline{AB},$ y al segmento $\overline{CD}$ en puntos distintos $N,$ $U,$ y $T,$ respectivamente. La recta $\ell$ divide la región $\mathcal{R}$ en dos regiones con áreas en razón $1 : 2.$ Suponga que $AU = 84,$ $AN = 126,$ y $UB = 168.$ Entonces $DA$ puede representarse como $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

Rectangle $ABCD$ and a semicircle with diameter $\overline{AB}$ are coplanar and have nonoverlapping interiors. Let $\mathcal{R}$ denote the region enclosed by the semicircle and the rectangle. Line $\ell$ meets the semicircle, segment $\overline{AB},$ and segment $\overline{CD}$ at distinct points $N,$ $U,$ and $T,$ respectively. Line $\ell$ divides region $\mathcal{R}$ into two regions with areas in the ratio $1 : 2.$ Suppose that $AU = 84,$ $AN = 126,$ and $UB = 168.$ Then $DA$ can be represented as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Aquí $AB = 84 + 168 = 252,$ así que el semicírculo tiene centro $O$ (el punto medio de $\overline{AB}$ ) y radio $126.$ Como $AN = AO = ON = 126,$ el triángulo $AON$ es equilátero, así que $\angle AON = 60^\circ$ y el sector $AON$ es exactamente un tercio del semicírculo. Del mismo modo, si $Q$ es el pie de la perpendicular desde $U$ a $\overline{DC},$ entonces $AU : UB = 1 : 2$ hace que el rectángulo $AUQD$ sea un tercio del rectángulo $ABCD.$

La parte de $\mathcal{R}$ del lado de $A$ respecto de $\ell$ es igual a (sector $AON$ ) $-$ $[NUO]$ $+$ (rectángulo $AUQD$ ) $+$ $[UQT].$ Como esto debe ser un tercio de $\mathcal{R},$ necesitamos $[NUO] = [UQT].$ Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $N$ a $\overline{AB}.$ En el triángulo $30$ - $60$ - $90$ $NOP,$ $OP = 63$ y $NP = 63\sqrt{3},$ así que $UP = 84 - 63 = 21$ y $UO = 126 - 84 = 42.$ Los triángulos $NUP$ y $TUQ$ son triángulos rectángulos semejantes (ángulos opuestos por el vértice en $U$ ), así que $\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}$ esto último porque ambos triángulos tienen altura $NP$ sobre las bases $UO$ y $UP.$

Igualar las áreas de los dos triángulos da $\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,$ así que $\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}$ y $m + n = 63 + 6 = 69.$

Here $AB = 84 + 168 = 252,$ so the semicircle has center $O$ (the midpoint of $\overline{AB}$ ) and radius $126.$ Since $AN = AO = ON = 126,$ triangle $AON$ is equilateral, so $\angle AON = 60^\circ$ and sector $AON$ is exactly one third of the semicircle. Likewise, if $Q$ is the foot of the perpendicular from $U$ to $\overline{DC},$ then $AU : UB = 1 : 2$ makes rectangle $AUQD$ one third of rectangle $ABCD.$

The part of $\mathcal{R}$ on the $A$ -side of $\ell$ equals (sector $AON$ ) $-$ $[NUO]$ $+$ (rectangle $AUQD$ ) $+$ $[UQT].$ Since this must be one third of $\mathcal{R},$ we need $[NUO] = [UQT].$ Let $P$ be the foot of the perpendicular from $N$ to $\overline{AB}.$ In the $30$ - $60$ - $90$ triangle $NOP,$ $OP = 63$ and $NP = 63\sqrt{3},$ so $UP = 84 - 63 = 21$ and $UO = 126 - 84 = 42.$ Triangles $NUP$ and $TUQ$ are similar right triangles (vertical angles at $U$ ), so $\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}$ the latter because both triangles have height $NP$ over bases $UO$ and $UP.$

Setting the two triangle areas equal gives $\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,$ so $\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}$ and $m + n = 63 + 6 = 69.$

2010 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años