Question

El polinomio $\begin{aligned} P(x) &= \small (1 + x + x^2 + \cdots + x^{17})^2 \\ &\quad {}- x^{17} \end{aligned}$ tiene $34$ ceros complejos de la forma $z_k$ $= r_k[\cos(2\pi\alpha_k) + i\sin(2\pi\alpha_k)],$ $k = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $34,$ con $0 \lt \alpha_1 \le \alpha_2 \le \alpha_3$ $\le \cdots \le \alpha_{34} \lt 1$ y $r_k \gt 0.$ Dado que $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

The polynomial $\begin{aligned} P(x) &= \small (1 + x + x^2 + \cdots + x^{17})^2 \\ &\quad {}- x^{17} \end{aligned}$ has $34$ complex zeros of the form $z_k$ $= r_k[\cos(2\pi\alpha_k) + i\sin(2\pi\alpha_k)],$ $k = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $34,$ with $0 \lt \alpha_1 \le \alpha_2 \le \alpha_3$ $\le \cdots \le \alpha_{34} \lt 1$ and $r_k \gt 0.$ Given that $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 482

Conceptos:raíces de la unidad sucesión geométrica factorización

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Multiplica $P(x)$ por $(x - 1)^2,$ escribiendo $1 + x + \cdots + x^{17} = \frac{x^{18} - 1}{x - 1}$

Multiply $P(x)$ by $(x - 1)^2,$ writing $1 + x + \cdots + x^{17} = \frac{x^{18} - 1}{x - 1}$

Pista grande:

$(x^{18} - 1)^2 - x^{17}(x - 1)^2$ $= (x^{19} - 1)(x^{17} - 1),$ así que los ceros son las raíces de la unidad de orden $17$ y $19$

$(x^{18} - 1)^2 - x^{17}(x - 1)^2$ $= (x^{19} - 1)(x^{17} - 1),$ so the zeros are $17$ th and $19$ th roots of unity

Solución:

Para $x \ne 1,$ escribe $1 + x + \cdots + x^{17} = \frac{x^{18} - 1}{x - 1},$ así que $\begin{aligned} \scriptsize (x - 1)^2 P(x) &= (x^{18} - 1)^2 \\ &\quad {}- x^{17}(x - 1)^2 \\ &= x^{36} - x^{19} - x^{17} + 1 \\ &= (x^{19} - 1)(x^{17} - 1). \end{aligned}$ Por lo tanto los ceros de $P$ son los $34$ números complejos distintos de $1$ que satisfacen $x^{17} = 1$ o $x^{19} = 1;$ todos están en la circunferencia unidad, con ángulos $\alpha = \frac{k}{17}$ para $k = 1, \ldots, 16$ y $\alpha = \frac{k}{19}$ para $k = 1, \ldots, 18.$

Los cinco menores de estos ángulos son $\frac{1}{19} \lt \frac{1}{17} \lt \frac{2}{19} \lt \frac{2}{17} \lt \frac{3}{19},$ cuya suma es $\frac{6}{19} + \frac{3}{17} = \frac{102 + 57}{323} = \frac{159}{323}.$ Como $159 = 3 \cdot 53$ y $323 = 17 \cdot 19,$ esto está en su mínima expresión, y $m + n = 159 + 323 = 482.$

For $x \ne 1,$ write $1 + x + \cdots + x^{17} = \frac{x^{18} - 1}{x - 1},$ so $\begin{aligned} \scriptsize (x - 1)^2 P(x) &= (x^{18} - 1)^2 \\ &\quad {}- x^{17}(x - 1)^2 \\ &= x^{36} - x^{19} - x^{17} + 1 \\ &= (x^{19} - 1)(x^{17} - 1). \end{aligned}$ Hence the zeros of $P$ are the $34$ complex numbers other than $1$ satisfying $x^{17} = 1$ or $x^{19} = 1;$ all lie on the unit circle, with angles $\alpha = \frac{k}{17}$ for $k = 1, \ldots, 16$ and $\alpha = \frac{k}{19}$ for $k = 1, \ldots, 18.$

The five smallest of these angles are $\frac{1}{19} \lt \frac{1}{17} \lt \frac{2}{19} \lt \frac{2}{17} \lt \frac{3}{19},$ whose sum is $\frac{6}{19} + \frac{3}{17} = \frac{102 + 57}{323} = \frac{159}{323}.$ Since $159 = 3 \cdot 53$ and $323 = 17 \cdot 19,$ this is in lowest terms, and $m + n = 159 + 323 = 482.$

2004 AIME I Problema 13

Respuesta: 482

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años