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2019 AIME I Problema 13

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 13 del 2019 AIME I, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:cuadrilátero cíclicoeje radicalpotencia de un puntoley de los cosenos

Nivel de dificultad: 3370

13.

El triángulo ABCABC tiene lados AB=4,AB = 4, BC=5,BC = 5, y CA=6.CA = 6. Los puntos DD y EE están sobre el rayo ABAB con AB<AD<AE.AB \lt AD \lt AE. El punto F≠CF \neq C es un punto de intersección de las circunferencias circunscritas de △ACD\triangle ACD y △EBC\triangle EBC que satisface DF=2DF = 2 y EF=7.EF = 7. Entonces BEBE puede expresarse como a+bcd,\frac{a + b\sqrt{c}}{d}, donde a,a, b,b, c,c, y dd son enteros positivos tales que aa y dd son primos entre sí, y cc no es divisible entre el cuadrado de ningún primo. Halle a+b+c+d.a + b + c + d.

Triangle ABCABC has side lengths AB=4,AB = 4, BC=5,BC = 5, and CA=6.CA = 6. Points DD and EE are on ray ABAB with AB<AD<AE.AB \lt AD \lt AE. The point F≠CF \neq C is a point of intersection of the circumcircles of △ACD\triangle ACD and △EBC\triangle EBC satisfying DF=2DF = 2 and EF=7.EF = 7. Then BEBE can be expressed as a+bcd,\frac{a + b\sqrt{c}}{d}, where a,a, b,b, c,c, and dd are positive integers such that aa and dd are relatively prime, and cc is not divisible by the square of any prime. Find a+b+c+d.a + b + c + d.

Solución:

Los puntos D,ED, E están más allá de BB sobre el rayo AB,AB, y FF está en el lado opuesto de la recta ABAB respecto de C.C. Como ACFDACFD y BCFEBCFE son cíclicos, los ángulos inscritos dan ∠FDA=∠FCA\angle FDA = \angle FCA y ∠FEB=∠FCB.\angle FEB = \angle FCB. Escribiendo α=∠FCA\alpha = \angle FCA y β=∠FCB,\beta = \angle FCB, el triángulo DEFDEF tiene ángulos ∠FDE=180∘−α\angle FDE = 180^\circ - \alpha y ∠FED=β,\angle FED = \beta, así que ∠DFE=α−β=∠ACB.\angle DFE = \alpha - \beta = \angle ACB. A partir del triángulo ABC,ABC, cos⁡∠ACB=25+36−162⋅5⋅6=34,\cos \angle ACB = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{3}{4}, así que la ley de cosenos en el triángulo DFEDFE da DE2=22+72−2⋅2⋅7⋅34=32,DE=42. \begin{aligned} DE^2 &= 2^2 + 7^2 - 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \tfrac{3}{4} \\ &= 32, \\ DE &= 4\sqrt{2}. \end{aligned}

En el triángulo DFE,DFE, cos⁡∠FDE=4+32−492⋅2⋅42=−13232,\cos \angle FDE = \frac{4 + 32 - 49}{2 \cdot 2 \cdot 4\sqrt{2}} = -\frac{13\sqrt{2}}{32}, así que α\alpha es agudo con cos⁡α=13232\cos\alpha = \frac{13\sqrt{2}}{32} y sin⁡α=1−3381024=71432.\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{338}{1024}} = \frac{7\sqrt{14}}{32}. Sea GG la intersección de la recta CFCF con la recta AB.AB. En el triángulo ACG,ACG, ∠GAC=∠BAC\angle GAC = \angle BAC tiene cos⁡∠BAC=16+36−252⋅4⋅6=916,\cos \angle BAC = \frac{16 + 36 - 25}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{9}{16}, sin⁡∠BAC=5716,\sin \angle BAC = \frac{5\sqrt{7}}{16}, y ∠ACG=α,\angle ACG = \alpha, así que sin⁡(∠BAC+α)\sin(\angle BAC + \alpha) =5716⋅13232= \frac{5\sqrt{7}}{16} \cdot \frac{13\sqrt{2}}{32} +916⋅71432+ \frac{9}{16} \cdot \frac{7\sqrt{14}}{32} =144= \frac{\sqrt{14}}{4} y AG=ACsin⁡αsin⁡(∠BAC+α)=6⋅71432144=214. \begin{aligned} AG &= \frac{AC \sin \alpha}{\sin(\angle BAC + \alpha)} \\ &= \frac{6 \cdot \frac{7\sqrt{14}}{32}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} \\ &= \frac{21}{4}. \end{aligned}

La recta CFCF es el eje radical de las dos circunferencias, así que GA⋅GD=GB⋅GE.GA \cdot GD = GB \cdot GE. Con x=BDx = BD y BE=x+DE=x+42:BE = x + DE = x + 4\sqrt{2}: 214(x−54)=54(x−54+42), \begin{aligned} &\frac{21}{4}\left(x - \frac{5}{4}\right) \\ &= \frac{5}{4}\left(x - \frac{5}{4} + 4\sqrt{2}\right), \end{aligned} ya que GD=4+x−214GD = 4 + x - \frac{21}{4} y GB=214−4.GB = \frac{21}{4} - 4. Esto da 16(x−54)=202,16\left(x - \frac{5}{4}\right) = 20\sqrt{2}, así que x=5+524x = \frac{5 + 5\sqrt{2}}{4} y BE=5+2124.BE = \frac{5 + 21\sqrt{2}}{4}. Por lo tanto a+b+c+d=5+21+2+4a + b + c + d = 5 + 21 + 2 + 4 =32.= 32.

Points D,ED, E lie beyond BB on ray AB,AB, and FF lies on the opposite side of line ABAB from C.C. Since ACFDACFD and BCFEBCFE are cyclic, the inscribed angles give ∠FDA=∠FCA\angle FDA = \angle FCA and ∠FEB=∠FCB.\angle FEB = \angle FCB. Writing α=∠FCA\alpha = \angle FCA and β=∠FCB,\beta = \angle FCB, triangle DEFDEF has angles ∠FDE=180∘−α\angle FDE = 180^\circ - \alpha and ∠FED=β,\angle FED = \beta, so ∠DFE=α−β=∠ACB.\angle DFE = \alpha - \beta = \angle ACB. From triangle ABC,ABC, cos⁡∠ACB=25+36−162⋅5⋅6=34,\cos \angle ACB = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{3}{4}, so the law of cosines in triangle DFEDFE gives DE2=22+72−2⋅2⋅7⋅34=32,DE=42. \begin{aligned} DE^2 &= 2^2 + 7^2 - 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \tfrac{3}{4} \\ &= 32, \\ DE &= 4\sqrt{2}. \end{aligned}

In triangle DFE,DFE, cos⁡∠FDE=4+32−492⋅2⋅42=−13232,\cos \angle FDE = \frac{4 + 32 - 49}{2 \cdot 2 \cdot 4\sqrt{2}} = -\frac{13\sqrt{2}}{32}, so α\alpha is acute with cos⁡α=13232\cos\alpha = \frac{13\sqrt{2}}{32} and sin⁡α=1−3381024=71432.\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{338}{1024}} = \frac{7\sqrt{14}}{32}. Let GG be the intersection of line CFCF with line AB.AB. In triangle ACG,ACG, ∠GAC=∠BAC\angle GAC = \angle BAC has cos⁡∠BAC=16+36−252⋅4⋅6=916,\cos \angle BAC = \frac{16 + 36 - 25}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{9}{16}, sin⁡∠BAC=5716,\sin \angle BAC = \frac{5\sqrt{7}}{16}, and ∠ACG=α,\angle ACG = \alpha, so sin⁡(∠BAC+α)\sin(\angle BAC + \alpha) =5716⋅13232= \frac{5\sqrt{7}}{16} \cdot \frac{13\sqrt{2}}{32} +916⋅71432+ \frac{9}{16} \cdot \frac{7\sqrt{14}}{32} =144= \frac{\sqrt{14}}{4} and AG=ACsin⁡αsin⁡(∠BAC+α)=6⋅71432144=214. \begin{aligned} AG &= \frac{AC \sin \alpha}{\sin(\angle BAC + \alpha)} \\ &= \frac{6 \cdot \frac{7\sqrt{14}}{32}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} \\ &= \frac{21}{4}. \end{aligned}

Line CFCF is the radical axis of the two circles, so GA⋅GD=GB⋅GE.GA \cdot GD = GB \cdot GE. With x=BDx = BD and BE=x+DE=x+42:BE = x + DE = x + 4\sqrt{2}: 214(x−54)=54(x−54+42), \begin{aligned} &\frac{21}{4}\left(x - \frac{5}{4}\right) \\ &= \frac{5}{4}\left(x - \frac{5}{4} + 4\sqrt{2}\right), \end{aligned} since GD=4+x−214GD = 4 + x - \frac{21}{4} and GB=214−4.GB = \frac{21}{4} - 4. This gives 16(x−54)=202,16\left(x - \frac{5}{4}\right) = 20\sqrt{2}, so x=5+524x = \frac{5 + 5\sqrt{2}}{4} and BE=5+2124.BE = \frac{5 + 21\sqrt{2}}{4}. Therefore a+b+c+d=5+21+2+4a + b + c + d = 5 + 21 + 2 + 4 =32.= 32.

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El Problema 13 en otros años

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