Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2019 AIME II Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2019 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

El octágono regular A1A2A3A4A5A6A7A8A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8 está inscrito en un círculo de área 1.1. El punto PP está dentro del círculo de modo que la región limitada por PA1‾,\overline{PA_1}, PA2‾,\overline{PA_2}, y el arco menor A1A2⌢\overset{\frown}{A_1A_2} del círculo tiene área 17,\frac{1}{7}, mientras que la región limitada por PA3‾,\overline{PA_3}, PA4‾,\overline{PA_4}, y el arco menor A3A4⌢\overset{\frown}{A_3A_4} del círculo tiene área 19.\frac{1}{9}. Existe un entero positivo nn tal que el área de la región limitada por PA6‾,\overline{PA_6}, PA7‾,\overline{PA_7}, y el arco menor A6A7⌢\overset{\frown}{A_6A_7} del círculo es igual a 18−2n.\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{n}. Halle n.n.
Regular octagon A1A2A3A4A5A6A7A8A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8 is inscribed in a circle of area 1.1. Point PP lies inside the circle so that the region bounded by PA1‾,\overline{PA_1}, PA2‾,\overline{PA_2}, and the minor arc A1A2⌢\overset{\frown}{A_1A_2} of the circle has area 17,\frac{1}{7}, while the region bounded by PA3‾,\overline{PA_3}, PA4‾,\overline{PA_4}, and the minor arc A3A4⌢\overset{\frown}{A_3A_4} of the circle has area 19.\frac{1}{9}. There is a positive integer nn such that the area of the region bounded by PA6‾,\overline{PA_6}, PA7‾,\overline{PA_7}, and the minor arc A6A7⌢\overset{\frown}{A_6A_7} of the circle is equal to 18−2n.\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{n}. Find n.n.
Respuesta: 504
Conceptos:polígono regularsector circularvector
Nivel de dificultad: 3270
Pista pequeña:
Cada región es el segmento circular más el triángulo PAiAi+1;PA_iA_{i+1}; su área es 18\frac18 menos una constante por la componente de PP a lo largo de la normal unitaria exterior de ese lado
Each region is the circular segment plus triangle PAiAi+1;PA_iA_{i+1}; its area is 18\frac18 minus a constant times the component of PP along that side’s outward unit normal
Pista grande:
El lado A6A7A_6A_7 está a cinco pasos del lado A1A2,A_1A_2, así que su normal unitaria es u6=−u1+u32u_6 = -\frac{u_1 + u_3}{\sqrt{2}}
Side A6A7A_6A_7 is five steps around from side A1A2,A_1A_2, so its unit normal is u6=−u1+u32u_6 = -\frac{u_1 + u_3}{\sqrt{2}}
Solución:
Sea OO el centro, ss la longitud del lado, aa el apotema, y uiu_i el vector unitario desde OO hacia el punto medio de la cuerda AiAi+1.A_iA_{i+1}. La región limitada por PAi‾,\overline{PA_i}, PAi+1‾,\overline{PA_{i+1}}, y el arco es el segmento circular junto con el triángulo PAiAi+1.PA_iA_{i+1}. El segmento tiene área 18−sa2\frac{1}{8} - \frac{sa}{2} (el sector menos el triángulo OAiAi+1OA_iA_{i+1}), y el triángulo en PP tiene área s2(a−P⋅ui),\frac{s}{2}(a - P \cdot u_i), ya que a−P⋅uia - P \cdot u_i es la distancia de PP a la cuerda. Sumando, aˊreai=18−s2 (P⋅ui).\text{área}_i = \frac{1}{8} - \frac{s}{2}\,(P \cdot u_i).
Las áreas dadas indican s2(P⋅u1)=18−17=−156\frac{s}{2}(P \cdot u_1) = \frac{1}{8} - \frac{1}{7} = -\frac{1}{56} y s2(P⋅u3)=18−19=172.\frac{s}{2}(P \cdot u_3) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}. Las normales rotan 45∘45^\circ por cada lado, así que u3u_3 es u1u_1 rotado 90∘,90^\circ, y u6,u_6, a cinco pasos de u1,u_1, es u1u_1 rotado 225∘:225^\circ: u6=−22 (u1+u3).u_6 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\,(u_1 + u_3). Por lo tanto s2(P⋅u6)=−12(−156+172)=−12⋅(−1252)=2504. \begin{aligned} &\frac{s}{2}(P \cdot u_6) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{56} + \frac{1}{72}\right) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{252}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{504}. \end{aligned}
La región sobre el lado A6A7A_6A_7 tiene entonces área 18−2504,\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{504}, así que n=504.n = 504.
Let OO be the center, ss the side length, aa the apothem, and uiu_i the unit vector from OO toward the midpoint of chord AiAi+1.A_iA_{i+1}. The region bounded by PAi‾,\overline{PA_i}, PAi+1‾,\overline{PA_{i+1}}, and the arc is the circular segment together with triangle PAiAi+1.PA_iA_{i+1}. The segment has area 18−sa2\frac{1}{8} - \frac{sa}{2} (sector minus triangle OAiAi+1OA_iA_{i+1}), and the triangle at PP has area s2(a−P⋅ui),\frac{s}{2}(a - P \cdot u_i), since a−P⋅uia - P \cdot u_i is the distance from PP to the chord. Adding, areai=18−s2 (P⋅ui).\text{area}_i = \frac{1}{8} - \frac{s}{2}\,(P \cdot u_i).
The given areas say s2(P⋅u1)=18−17=−156\frac{s}{2}(P \cdot u_1) = \frac{1}{8} - \frac{1}{7} = -\frac{1}{56} and s2(P⋅u3)=18−19=172.\frac{s}{2}(P \cdot u_3) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}. The normals rotate 45∘45^\circ per side, so u3u_3 is u1u_1 rotated 90∘,90^\circ, and u6,u_6, five steps from u1,u_1, is u1u_1 rotated 225∘:225^\circ: u6=−22 (u1+u3).u_6 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\,(u_1 + u_3). Therefore s2(P⋅u6)=−12(−156+172)=−12⋅(−1252)=2504. \begin{aligned} &\frac{s}{2}(P \cdot u_6) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{56} + \frac{1}{72}\right) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{252}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{504}. \end{aligned}
The region on side A6A7A_6A_7 thus has area 18−2504,\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{504}, so n=504.n = 504.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

El Problema 13 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II