Respuesta: 504

Pista pequeña:

Cada región es el segmento circular más el triángulo $PA_iA_{i+1};$ su área es $\frac18$ menos una constante por la componente de $P$ a lo largo de la normal unitaria exterior de ese lado

Pista grande:

El lado $A_6A_7$ está a cinco pasos del lado $A_1A_2,$ así que su normal unitaria es $u_6 = -\frac{u_1 + u_3}{\sqrt{2}}$

Solución:

Sea $O$ el centro, $s$ la longitud del lado, $a$ el apotema, y $u_i$ el vector unitario desde $O$ hacia el punto medio de la cuerda $A_iA_{i+1}.$ La región limitada por $\overline{PA_i},$ $\overline{PA_{i+1}},$ y el arco es el segmento circular junto con el triángulo $PA_iA_{i+1}.$ El segmento tiene área $\frac{1}{8} - \frac{sa}{2}$ (el sector menos el triángulo $OA_iA_{i+1}$), y el triángulo en $P$ tiene área $\frac{s}{2}(a - P \cdot u_i),$ ya que $a - P \cdot u_i$ es la distancia de $P$ a la cuerda. Sumando, $$\text{área}_i = \frac{1}{8} - \frac{s}{2}\,(P \cdot u_i).$$

Las áreas dadas indican $\frac{s}{2}(P \cdot u_1) = \frac{1}{8} - \frac{1}{7} = -\frac{1}{56}$ y $\frac{s}{2}(P \cdot u_3) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}.$ Las normales rotan $45^\circ$ por cada lado, así que $u_3$ es $u_1$ rotado $90^\circ,$ y $u_6,$ a cinco pasos de $u_1,$ es $u_1$ rotado $225^\circ:$ $$u_6 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\,(u_1 + u_3).$$ Por lo tanto $$\begin{aligned} &\frac{s}{2}(P \cdot u_6) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{56} + \frac{1}{72}\right) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{252}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{504}. \end{aligned}$$

La región sobre el lado $A_6A_7$ tiene entonces área $\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{504},$ así que $n = 504.$