Question

En el triángulo $ABC,$ $AB=\sqrt{30},$ $AC=\sqrt6,$ y $BC=\sqrt{15}.$ Hay un punto $D$ tal que $\overline{AD}$ biseca a $\overline{BC},$ y $\angle ADB$ es recto. La razón $\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m+n.$

In triangle $ABC,$ $AB=\sqrt{30},$ $AC=\sqrt6,$ and $BC=\sqrt{15}.$ There is a point $D$ for which $\overline{AD}$ bisects $\overline{BC},$ and $\angle ADB$ is a right angle. The ratio $\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 65

Conceptos:mediana (geometría)razón de áreas Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Sea $E$ el punto medio de $\overline{BC},$ de modo que $A,$ $E,$ y $D$ son colineales

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC},$ so $A,$ $E,$ and $D$ are collinear

Pista grande:

Halla $AE$ con la fórmula de la mediana y compara dos triángulos rectángulos que comparten $BD$

Find $AE$ with the median formula, then compare two right triangles sharing $BD$

Solución:

Sea $E$ el punto medio de $\overline{BC}.$ Entonces $A,$ $E,$ y $D$ son colineales. La fórmula de la mediana da $\begin{aligned}AE^2&=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\\&=\frac{57}{4}.\end{aligned}$ Como $AB^2>AE^2+BE^2,$ el ángulo $AEB$ es obtuso, así que el pie perpendicular $D$ está más allá de $E.$ Tanto $\triangle ABD$ como $\triangle EBD$ son rectángulos en $D.$ Por tanto, $\begin{gathered}AB^2-BE^2\\=(AE+DE)^2-DE^2\\=AE^2+2AE\cdot DE.\end{gathered}$ Al sustituir se obtiene $30-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}+2AE\cdot DE,$ de donde $\frac{DE}{AE}=\frac{8}{19}.$

Los triángulos $ABE$ y $DBE$ tienen bases $AE$ y $DE$ sobre la misma recta y comparten la altura desde $B,$ mientras que $[ABC]=2[ABE].$ Por consiguiente, $\begin{aligned}\frac{[ADB]}{[ABC]}&=\frac{[ABE]+[DBE]}{2[ABE]}\\&=\frac12\left(1+\frac8{19}\right)\\&=\frac{27}{38}.\end{aligned}$ Así, $m+n=65.$

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Then $A,$ $E,$ and $D$ are collinear. The median formula gives $\begin{aligned}AE^2&=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\\&=\frac{57}{4}.\end{aligned}$ Since $AB^2>AE^2+BE^2,$ angle $AEB$ is obtuse, so the perpendicular foot $D$ lies beyond $E.$ Both $\triangle ABD$ and $\triangle EBD$ are right at $D.$ Therefore $\begin{gathered}AB^2-BE^2\\=(AE+DE)^2-DE^2\\=AE^2+2AE\cdot DE.\end{gathered}$ Substitution gives $30-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}+2AE\cdot DE,$ so $\frac{DE}{AE}=\frac{8}{19}.$

Triangles $ABE$ and $DBE$ have bases $AE$ and $DE$ on the same line and share the altitude from $B,$ while $[ABC]=2[ABE].$ Hence $\begin{aligned}\frac{[ADB]}{[ABC]}&=\frac{[ABE]+[DBE]}{2[ABE]}\\&=\frac12\left(1+\frac8{19}\right)\\&=\frac{27}{38}.\end{aligned}$ Thus $m+n=65.$

1996 AIME Problema 13

Respuesta: 65

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años