Question

Halla el valor de $\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr). \end{aligned}$

Find the value of $\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr). \end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 15

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Usa $\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$

Use $\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$

Pista grande:

Combina los cuatro ángulos de cotangente inversa de dos en dos, de izquierda a derecha

Combine the four inverse-cotangent angles two at a time from left to right

Solución:

Sea $\alpha=\cot^{-1}3+\cot^{-1}7.$ La fórmula de adición de la cotangente da $\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{3\cdot7-1}{3+7}\\ &=2. \end{aligned}$ Al combinar el siguiente ángulo se obtiene $\frac{2\cdot13-1}{2+13}=\frac53,$ y al combinar el último se obtiene $\frac{(\frac{5}{3})\cdot21-1}{\frac{5}{3}+21}=\frac32.$ Al multiplicar por $10$ se obtiene $15.$

Let $\alpha=\cot^{-1}3+\cot^{-1}7.$ The cotangent addition formula gives $\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{3\cdot7-1}{3+7}\\ &=2. \end{aligned}$ Combining the next angle gives $\frac{2\cdot13-1}{2+13}=\frac53,$ and combining the last gives $\frac{(\frac{5}{3})\cdot21-1}{\frac{5}{3}+21}=\frac32.$ Multiplying by $10$ yields $15.$

1984 AIME Problema 13

Respuesta: 15

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años