Question

Los números de la sucesión $101,$ $104,$ $109,$ $116,$ $\ldots$ tienen la forma $a_n=100+n^2,$ donde $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Para cada $n,$ sea $d_n$ el máximo común divisor de $a_n$ y $a_{n+1}.$ Halla el valor máximo de $d_n$ cuando $n$ recorre los enteros positivos.

The numbers in the sequence $101,$ $104,$ $109,$ $116,$ $\ldots$ are of the form $a_n=100+n^2,$ where $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ For each $n,$ let $d_n$ be the greatest common divisor of $a_n$ and $a_{n+1}.$ Find the maximum value of $d_n$ as $n$ ranges through the positive integers.

Respuesta

Respuesta: 401

Conceptos:máximo común divisor manipulación algebraica primo

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Un divisor común de términos consecutivos también divide su diferencia $2n+1$

A common divisor of consecutive terms also divides their difference $2n+1$

Pista grande:

Combina $n^2+100$ y $2n+1$ para mostrar que el máximo común divisor divide a un primo fijo

Combine $n^2+100$ and $2n+1$ to show that the gcd divides a fixed prime

Solución:

Un divisor común $d_n$ divide a $a_{n+1}-a_n=2n+1.$ Por tanto, también divide a $\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401. \end{aligned}$ Como $401$ es primo, $d_n\leq401.$ La igualdad se alcanza cuando $n=200,$ pues $2n+1=401$ y $n^2+100=40100=100\cdot401.$ Por consiguiente, el máximo es $401.$

A common divisor $d_n$ divides $a_{n+1}-a_n=2n+1.$ It therefore also divides $\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401. \end{aligned}$ Since $401$ is prime, $d_n\leq401.$ Equality occurs at $n=200,$ because $2n+1=401$ and $n^2+100=40100=100\cdot401.$ Hence the maximum is $401.$

1985 AIME Problema 13

Respuesta: 401

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años