Question

En un torneo, cada participante jugó exactamente una partida contra cada uno de los demás. En cada partida, el ganador recibió $1$ punto, el perdedor recibió $0$ puntos y, si hubo empate, cada participante recibió $\frac12$ punto. Al terminar el torneo, se observó que exactamente la mitad de los puntos de cada participante se habían obtenido contra los diez participantes con menor puntuación. (En particular, cada uno de esos diez participantes obtuvo la mitad de sus puntos contra los otros nueve.) ¿Cuál era el número total de participantes en el torneo?

In a tournament each player played exactly one game against each of the other players. In each game the winner was awarded $1$ point, the loser got $0$ points, and each of the two players earned $\frac12$ point if the game was a tie. After the completion of the tournament, it was found that exactly half of the points earned by each player were earned against the ten players with the least number of points. (In particular, each of the ten lowest-scoring players earned half of her or his points against the other nine of the ten.) What was the total number of players in the tournament?

Respuesta

Respuesta: 25

Conceptos:doble conteo teoría de grafos cuadrática

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Suma las puntuaciones de los diez participantes con menor puntuación y cuenta las partidas disputadas entre ellos

Sum the scores of the ten lowest-scoring players and count their internal games

Pista grande:

Sea $m$ la cantidad de participantes restantes y cuenta de dos maneras los puntos de las partidas entre los dos grupos

Let $m$ be the number of other players and double-count points from games across the two groups

Solución:

Las partidas entre los diez participantes con menor puntuación aportan $\binom{10}{2}=45$ puntos en total. Estos son la mitad de la puntuación conjunta de esos diez participantes, así que su puntuación conjunta es $90.$ Por tanto, obtuvieron $45$ puntos en partidas contra los otros $m$ participantes.

Por tanto, los demás participantes obtuvieron $10m-45$ puntos contra los diez de menor puntuación. Según la condición, esto es la mitad de su puntuación conjunta, que es $\binom{m+10}{2}-90.$ Así, $2(10m-45)=\binom{m+10}{2}-90,$ lo que da $(m-6)(m-15)=0.$ Si $m=6,$ los diez de menor puntuación promedian $9$ puntos, mientras que los otros seis promedian solo $5,$ de modo que estos últimos no podrían estar por encima de los primeros. Por tanto, $m=15,$ y el número total de participantes es $10+15=25.$

The games among the ten lowest players contribute $\binom{10}{2}=45$ total points. These are half of those ten players’ combined score, so their combined score is $90.$ Hence they earned $45$ points in games against the other $m$ players.

The other players therefore earned $10m-45$ points against the lowest ten. By the condition, this is half their combined score, which is $\binom{m+10}{2}-90.$ Thus $2(10m-45)=\binom{m+10}{2}-90,$ giving $(m-6)(m-15)=0.$ If $m=6,$ the lowest ten average $9$ points while the other six average only $5,$ impossible for the latter group to rank above them. Hence $m=15,$ and the total number of players is $10+15=25.$

1985 AIME Problema 14

Respuesta: 25

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años