Question

Sea $C$ la gráfica de $xy=1,$ y sea $C^*$ la reflexión de $C$ respecto de la recta $y=2x.$ Escribe la ecuación de $C^*$ en la forma

$12x^2+bxy+cy^2+d=0.$

Halla el producto $bc.$

Let $C$ be the graph of $xy=1,$ and denote by $C^*$ the reflection of $C$ in the line $y=2x.$ Let the equation of $C^*$ be written in the form

$12x^2+bxy+cy^2+d=0.$

Find the product $bc.$

Respuesta

Respuesta: 84

Conceptos:reflexión (geometría)transformación hipérbola

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Halla la matriz de reflexión respecto de la recta generada por $(1,2)$

Find the reflection matrix for the line spanned by $(1,2)$

Pista grande:

Como una reflexión es su propia inversa, sustituye las coordenadas reflejadas en $uv=1$

Because reflection is its own inverse, substitute the reflected coordinates into $uv=1$

Solución:

La reflexión respecto de la recta generada por $(1,2)$ tiene matriz $\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}.$ Así, un punto $(x,y)$ de $C^*$ corresponde a un punto cuyas coordenadas son $u=\frac{-3x+4y}{5}$ y $v=\frac{4x+3y}{5},$ situado en $C.$ Al sustituir $uv=1$ se obtiene $-12x^2+7xy+12y^2-25=0,$ o bien $12x^2-7xy-12y^2+25=0.$ Por tanto, $b=-7,$ $c=-12,$ y $bc=84.$

Reflection in the line spanned by $(1,2)$ has matrix $\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}.$ Thus a point $(x,y)$ on $C^*$ came from $u=\frac{-3x+4y}{5}$ and $v=\frac{4x+3y}{5}$ on $C.$ Substituting $uv=1$ gives $-12x^2+7xy+12y^2-25=0,$ or $12x^2-7xy-12y^2+25=0.$ Hence $b=-7,$ $c=-12,$ and $bc=84.$

1988 AIME Problema 14

Respuesta: 84

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años