Question

Las distancias mínimas entre una diagonal espacial de un paralelepípedo rectangular $P$ y las aristas que no corta son $2\sqrt5,$ $\frac{30}{\sqrt{13}},$ y $\frac{15}{\sqrt{10}}.$ Determina el volumen de $P.$

The shortest distances between an interior diagonal of a rectangular parallelepiped $P$ and the edges it does not meet are $2\sqrt5,$ $\frac{30}{\sqrt{13}},$ and $\frac{15}{\sqrt{10}}.$ Determine the volume of $P.$

Respuesta

Respuesta: 750

Conceptos:prisma rectangular sistema de ecuaciones vector

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Denota por $a,$ $b,$ y $c$ las longitudes de las aristas y usa una fórmula vectorial para la distancia entre rectas alabeadas

Let the side lengths be $a,$ $b,$ and $c$ and use a vector formula for the distance between skew lines

Pista grande:

Tomar los recíprocos de los cuadrados de las distancias hace que las ecuaciones sean lineales en $\frac{1}{a^2},$ $\frac{1}{b^2},$ y $\frac{1}{c^2}$

Taking reciprocals of the squared distances makes the equations linear in $\frac{1}{a^2},$ $\frac{1}{b^2},$ and $\frac{1}{c^2}$

Solución:

Las longitudes de las aristas son $a,$ $b,$ y $c.$ Por ejemplo, la distancia desde la diagonal espacial con dirección $(a,b,c)$ hasta una arista que no la corta y es paralela a la dirección $a$ es $\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}.$ Las otras dos distancias se obtienen cíclicamente. Podemos asignar las tres distancias dadas a estas tres direcciones en el orden indicado, pues permutarlas solo permuta las longitudes de las aristas.

Sean $X=\frac{1}{a^2},$ $Y=\frac{1}{b^2},$ y $Z=\frac{1}{c^2}.$ Al tomar los recíprocos de los cuadrados se obtiene $\begin{aligned} Y+Z&=\frac1{20},\\ X+Z&=\frac{13}{900},\\ X+Y&=\frac2{45}. \end{aligned}$ Al resolver, $\begin{aligned} X&=\frac1{225},\\ Y&=\frac1{25},\\ Z&=\frac1{100}. \end{aligned}$ Por tanto, las longitudes de las aristas son $15,$ $5,$ $10,$ y el volumen es $15\cdot5\cdot10=750.$

Let the side lengths be $a,$ $b,$ and $c.$ For example, the distance from the space diagonal with direction $(a,b,c)$ to a nonintersecting edge parallel to the $a$ -direction is $\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}.$ The other two distances are obtained cyclically. We may assign the three given distances to these three directions in the listed order, since permuting them only permutes the side lengths.

Put $X=\frac{1}{a^2},$ $Y=\frac{1}{b^2},$ and $Z=\frac{1}{c^2}.$ Taking reciprocal squares gives $\begin{aligned} Y+Z&=\frac1{20},\\ X+Z&=\frac{13}{900},\\ X+Y&=\frac2{45}. \end{aligned}$ Solving, $\begin{aligned} X&=\frac1{225},\\ Y&=\frac1{25},\\ Z&=\frac1{100}. \end{aligned}$ Hence the side lengths are $15,$ $5,$ $10,$ and the volume is $15\cdot5\cdot10=750.$

1986 AIME Problema 14

Respuesta: 750

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años