Question

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo rectángulo en el plano $xy$ , con ángulo recto en $C.$ Se sabe que la hipotenusa $AB$ tiene longitud $60,$ y que las medianas que pasan por $A$ y $B$ están sobre las rectas $y=x+3$ y $y=2x+4,$ respectivamente. Halla el área de $\triangle ABC.$

Let triangle $ABC$ be a right triangle in the $xy$ -plane with a right angle at $C.$ Given that the hypotenuse $AB$ has length $60,$ and that the medians through $A$ and $B$ lie along the lines $y=x+3$ and $y=2x+4,$ respectively, find the area of $\triangle ABC.$

Respuesta

Respuesta: 400

Conceptos:baricentro geometría analítica mediana (geometría)área del triángulo

Nivel de dificultad: 2820

Pista pequeña:

La intersección de las dos rectas que contienen las medianas es el centroide

The intersection of the two median lines is the centroid

Pista grande:

Parametriza $A$ y $B$ desde el centroide en las direcciones de los vectores $(1,1)$ y $(1,2)$

Parametrize $A$ and $B$ from the centroid along direction vectors $(1,1)$ and $(1,2)$

Solución:

Las rectas que contienen las medianas se cortan en el centroide $G=(-1,2).$ Para números reales $u$ y $v,$ escribe $\begin{aligned} A&=G+(u,u),\\ B&=G+(v,2v). \end{aligned}$ Como $A+B+C=3G,$ $C=G-(u,u)-(v,2v).$ La condición $AC\perp BC$ da $\begin{aligned} &(2u+v,2u+2v)\\ &\qquad\mathbin{\cdot}(u+2v,u+4v)=0, \end{aligned}$ es decir, $4u^2+15uv+10v^2=0.$ Por otra parte, $AB=60$ da $\begin{aligned} &(u-v)^2+(u-2v)^2\\ &\qquad=2u^2-6uv+5v^2\\ &\qquad=3600. \end{aligned}$ Al restar la mitad de la primera ecuación de la segunda se obtiene $-\frac{27}{2}uv=3600,$ por lo que $uv=-\frac{800}{3}.$

Usando los dos catetos perpendiculares que parten de $C,$ el área es la mitad del valor absoluto del determinante: $\begin{aligned} [ABC] &=\frac12\left| \det\begin{pmatrix}2u+v&2u+2v\\u+2v&u+4v\end{pmatrix} \right|\\ &=\frac12|3uv| =400. \end{aligned}$

The median lines meet at the centroid $G=(-1,2).$ For real $u$ and $v,$ write $\begin{aligned} A&=G+(u,u),\\ B&=G+(v,2v). \end{aligned}$ Since $A+B+C=3G,$ $C=G-(u,u)-(v,2v).$ The condition $AC\perp BC$ gives $\begin{aligned} &(2u+v,2u+2v)\\ &\qquad\mathbin{\cdot}(u+2v,u+4v)=0, \end{aligned}$ or $4u^2+15uv+10v^2=0.$ Meanwhile $AB=60$ gives $\begin{aligned} &(u-v)^2+(u-2v)^2\\ &\qquad=2u^2-6uv+5v^2\\ &\qquad=3600. \end{aligned}$ Subtracting half of the first equation from the second yields $-\frac{27}{2}uv=3600,$ so $uv=-\frac{800}{3}.$

Using the two perpendicular legs from $C,$ the area is half the absolute determinant: $\begin{aligned} [ABC] &=\frac12\left| \det\begin{pmatrix}2u+v&2u+2v\\u+2v&u+4v\end{pmatrix} \right|\\ &=\frac12|3uv| =400. \end{aligned}$

1986 AIME Problema 15

Respuesta: 400

Nivel de dificultad: 2820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años