Question

En el paralelogramo $ABCD,$ sea $O$ la intersección de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}.$ Los ángulos $CAB$ y $DBC$ miden cada uno el doble que el ángulo $DBA,$ y el ángulo $ACB$ mide $r$ veces el ángulo $AOB.$ Halla el mayor entero que no excede a $1000r.$

In parallelogram $ABCD,$ let $O$ be the intersection of diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}.$ Angles $CAB$ and $DBC$ are each twice as large as angle $DBA,$ and angle $ACB$ is $r$ times as large as angle $AOB.$ Find the greatest integer that does not exceed $1000r.$

Respuesta

Respuesta: 777

Conceptos:paralelogramo ley de los senos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Define $\angle DBA=\alpha$ y compara los triángulos $ABC$ y $ABD$

Set $\angle DBA=\alpha$ and compare triangles $ABC$ and $ABD$

Pista grande:

Usa la ley de los senos para obtener una ecuación con $\sin5\alpha,$ $\sin2\alpha,$ y $\sin\alpha$

Use the law of sines to obtain an equation involving $\sin5\alpha,$ $\sin2\alpha,$ and $\sin\alpha$

Solución:

Sea $\angle DBA=\alpha.$ Entonces $\angle DBC=\angle CAB=2\alpha,$ así que en $\triangle ABC$ los ángulos son $2\alpha,$ $3\alpha,$ y $180^\circ-5\alpha.$ Como $AD\parallel BC,$ el triángulo $ABD$ tiene ángulos $\alpha,$ $2\alpha,$ y $180^\circ-3\alpha.$

Al aplicar la ley de los senos en los dos triángulos y usar $AD=BC$ se obtiene $\frac{AB}{BC}=\frac{\sin5\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}.$ Con $u=\cos^2\alpha,$ esto se convierte en $16u^2-16u+1=0.$ Como $5\alpha<180^\circ,$ la raíz válida es $u=\frac{2+\sqrt3}{4}=\cos^2 15^\circ,$ por lo que $\alpha=15^\circ.$ Así, $\angle ACB=105^\circ.$ En $\triangle AOB,$ los ángulos en $A$ y $B$ son $30^\circ$ y $15^\circ,$ de modo que $\angle AOB=135^\circ.$ Por tanto, $\begin{aligned}r&=\frac{105}{135}=\frac79,\\\left\lfloor1000r\right\rfloor&=777.\end{aligned}$

Let $\angle DBA=\alpha.$ Then $\angle DBC=\angle CAB=2\alpha,$ so in $\triangle ABC$ the angles are $2\alpha,$ $3\alpha,$ and $180^\circ-5\alpha.$ Because $AD\parallel BC,$ triangle $ABD$ has angles $\alpha,$ $2\alpha,$ and $180^\circ-3\alpha.$

Applying the law of sines in the two triangles and using $AD=BC$ gives $\frac{AB}{BC}=\frac{\sin5\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}.$ With $u=\cos^2\alpha,$ this becomes $16u^2-16u+1=0.$ Since $5\alpha<180^\circ,$ the valid root is $u=\frac{2+\sqrt3}{4}=\cos^2 15^\circ,$ so $\alpha=15^\circ.$ Thus $\angle ACB=105^\circ.$ In $\triangle AOB,$ the angles at $A$ and $B$ are $30^\circ$ and $15^\circ,$ so $\angle AOB=135^\circ.$ Therefore $\begin{aligned}r&=\frac{105}{135}=\frac79,\\\left\lfloor1000r\right\rfloor&=777.\end{aligned}$

1996 AIME Problema 15

Respuesta: 777

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años