Question

Sea $\overline{CH}$ una altura de $\triangle ABC.$ Sean $R$ y $S$ los puntos donde los círculos inscritos en los triángulos $ACH$ y $BCH$ son tangentes a $\overline{CH}.$ Si $AB=1995,$ $AC=1994,$ y $BC=1993,$ entonces $RS$ puede expresarse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros coprimos. Halla $m+n.$

Let $\overline{CH}$ be an altitude of $\triangle ABC.$ Let $R$ and $S$ be the points where the circles inscribed in the triangles $ACH$ and $BCH$ are tangent to $\overline{CH}.$ If $AB=1995,$ $AC=1994,$ and $BC=1993,$ then $RS$ can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime integers. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 997

Conceptos:altura circunferencia inscrita, incentro e inradio ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Expresa la distancia de $H$ a cada punto de tangencia usando el semiperímetro de su triángulo rectángulo

Express the distance from $H$ to each tangency point using the semiperimeter of its right triangle

Pista grande:

Halla $AH-BH$ a partir de las longitudes de los lados sin calcular primero la altura

Find $AH-BH$ from the side lengths without first computing the altitude

Solución:

Sea $h=CH.$ En el triángulo rectángulo $ACH,$ la longitud de la tangente desde $H$ hasta su incírculo es $\frac{AH+h-AC}{2};$ en el triángulo $BCH,$ es $\frac{BH+h-BC}{2}.$ Por consiguiente, $\begin{aligned}RS&=\frac12\left|AH-BH\right.\\&\qquad\left.-AC+BC\right|.\end{aligned}$ La fórmula de proyección da $\begin{aligned}AH-BH&=\frac{AC^2-BC^2}{AB}\\&=\frac{1994^2-1993^2}{1995}\\&=\frac{3987}{1995}.\end{aligned}$ Como $AC-BC=1,$ $RS=\frac12\left(\frac{3987}{1995}-1\right)=\frac{332}{665}.$ Por lo tanto, $m+n=332+665=997.$

Let $h=CH.$ In right triangle $ACH,$ the tangent length from $H$ to its incircle is $\frac{AH+h-AC}{2};$ in triangle $BCH,$ it is $\frac{BH+h-BC}{2}.$ Hence $\begin{aligned}RS&=\frac12\left|AH-BH\right.\\&\qquad\left.-AC+BC\right|.\end{aligned}$ The projection formula gives $\begin{aligned}AH-BH&=\frac{AC^2-BC^2}{AB}\\&=\frac{1994^2-1993^2}{1995}\\&=\frac{3987}{1995}.\end{aligned}$ Since $AC-BC=1,$ $RS=\frac12\left(\frac{3987}{1995}-1\right)=\frac{332}{665}.$ Thus $m+n=332+665=997.$

1993 AIME Problema 15

Respuesta: 997

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años