Question

Como muestra la primera figura, se unen los puntos medios de dos lados adyacentes para cortar cada uno de tres cuadrados de $12\text{ cm}\times12\text{ cm}$ en dos piezas, $A$ y $B.$ Después, estas seis piezas se unen a un hexágono regular, como muestra la segunda figura, para plegarlas y formar un poliedro. ¿Cuál es el volumen, en $\text{cm}^3,$ de este poliedro?

Three $12\text{ cm}\times12\text{ cm}$ squares are each cut into two pieces $A$ and $B,$ as shown in the first figure below, by joining the midpoints of two adjacent sides. These six pieces are then attached to a regular hexagon, as shown in the second figure, so as to fold into a polyhedron. What is the volume (in $\text{cm}^3$ ) of this polyhedron?

Respuesta

Respuesta: 864

Conceptos:geometría del cubo desarrollo plano (geometría 3D)volumen

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Observa que cada $A$ es una cara cuadrada con una esquina recortada y que cada $B$ es ese triángulo de la esquina

Recognize each $A$ as a square face with one corner cut off and each $B$ as that corner triangle

Pista grande:

Un plano que pasa por los puntos medios de seis aristas de un cubo corta un hexágono regular y divide el cubo en dos partes congruentes

A plane through six edge midpoints of a cube cuts a regular hexagon and divides the cube into two congruent parts

Solución:

Considera un cubo de $12\times12\times12$ y el plano que pasa por los puntos medios de las seis aristas que unen dos grupos opuestos de tres vértices. En coordenadas $0\leq x,y,z\leq12,$ este es el plano $x+y+z=18.$ Su sección transversal es un hexágono regular de lado $6\sqrt2,$ igual que el borde de corte que une los puntos medios de dos lados adyacentes.

En tres caras del cubo, el plano deja un cuadrado al que se le ha quitado un triángulo de una esquina, exactamente la pieza $A.$ En las otras tres caras, deja el triángulo rectángulo isósceles complementario de la esquina, exactamente la pieza $B.$ Así, el desarrollo mostrado es una de las dos partes en que el plano corta el cubo. La simetría central intercambia ambas partes, por lo que cada una tiene la mitad del volumen del cubo: $V=\frac{12^3}{2}=864.$

Consider a $12\times12\times12$ cube and the plane through the midpoints of the six edges that join opposite groups of three vertices. In coordinates $0\leq x,y,z\leq12,$ this is the plane $x+y+z=18.$ Its cross-section is a regular hexagon with side $6\sqrt2,$ the same as the cut edge joining adjacent side midpoints.

On three faces of the cube, the plane leaves a square with a corner triangle removed, exactly piece $A.$ On the other three faces, it leaves the complementary right-isosceles corner triangle, exactly piece $B.$ Thus the pictured net is one of the two pieces into which this plane cuts the cube. Central symmetry interchanges the two pieces, so each has half the cube’s volume: $V=\frac{12^3}{2}=864.$

1985 AIME Problema 15

Respuesta: 864

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años