Question

Halla $ax^5+by^5$ si los números reales $a,$ $b,$ $x,$ y $y$ satisfacen las ecuaciones $\begin{aligned}ax+by&=3,\\ax^2+by^2&=7,\\ax^3+by^3&=16,\\ax^4+by^4&=42.\end{aligned}$

Find $ax^5+by^5$ if the real numbers $a,$ $b,$ $x,$ and $y$ satisfy the equations $\begin{aligned}ax+by&=3,\\ax^2+by^2&=7,\\ax^3+by^3&=16,\\ax^4+by^4&=42.\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:recursión sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Sea $S_k=ax^k+by^k$ y deriva una recurrencia usando $x+y$ y $xy$

Let $S_k=ax^k+by^k$ and derive a recurrence using $x+y$ and $xy$

Pista grande:

Usa $S_3$ y $S_4$ para hallar los dos coeficientes de la recurrencia antes de calcular $S_5$

Use $S_3$ and $S_4$ to solve for the two recurrence coefficients before computing $S_5$

Solución:

Sean $S_k=ax^k+by^k,$ $p=x+y,$ y $q=xy.$ Como $x$ y $y$ satisfacen $t^2=pt-q,$ $S_{k+2}=pS_{k+1}-qS_k.$ Al usar $S_1=3,$ $S_2=7,$ $S_3=16,$ y $S_4=42$ se obtiene $\begin{aligned}7p-3q&=16,\\16p-7q&=42.\end{aligned}$ Al resolver, $p=-14$ y $q=-38.$ Por lo tanto, $\begin{aligned}S_5&=pS_4-qS_3\\&=-14(42)+38(16)\\&=20.\end{aligned}$

Let $S_k=ax^k+by^k,$ $p=x+y,$ and $q=xy.$ Since $x$ and $y$ each satisfy $t^2=pt-q,$ $S_{k+2}=pS_{k+1}-qS_k.$ Using $S_1=3,$ $S_2=7,$ $S_3=16,$ and $S_4=42$ gives $\begin{aligned}7p-3q&=16,\\16p-7q&=42.\end{aligned}$ Solving yields $p=-14$ and $q=-38.$ Therefore $\begin{aligned}S_5&=pS_4-qS_3\\&=-14(42)+38(16)\\&=20.\end{aligned}$

1990 AIME Problema 15

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años