Question

La figura adjunta muestra dos cuerdas que se cortan en un círculo, con $B$ en el arco menor $AD.$ Supón que el radio del círculo es $5,$ que $BC=6,$ y que $AD$ es bisecada por $BC.$ Supón además que $AD$ es la única cuerda con extremo en $A$ que es bisecada por $BC.$ Se deduce que el seno del ángulo central subtendido por el arco menor $AB$ es un número racional. Si este número se expresa como una fracción irreducible $\frac{m}{n}$ , ¿cuál es el producto $mn$ ?

The adjoining figure shows two intersecting chords in a circle, with $B$ on minor arc $AD.$ Suppose that the radius of the circle is $5,$ that $BC=6,$ and that $AD$ is bisected by $BC.$ Suppose further that $AD$ is the only chord starting at $A$ which is bisected by $BC.$ It follows that the sine of the minor arc $AB$ is a rational number. If this fraction is expressed as a fraction $\frac{m}{n}$ in lowest terms, what is the product $mn?$

Respuesta

Respuesta: 175

Conceptos:cuerda recta tangente potencia de un punto geometría analítica

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Los puntos medios de todas las cuerdas con extremo en $A$ están en el círculo cuyo diámetro une $A$ con el centro

The midpoints of all chords from $A$ lie on the circle with diameter joining $A$ to the center

Pista grande:

La unicidad hace que $BC$ sea tangente a ese círculo de puntos medios en el punto medio de $AD$

Uniqueness makes $BC$ tangent to that midpoint circle at the midpoint of $AD$

Solución:

Sea $H$ el punto medio de $AD.$ Coloca $H=(0,0),$ $A=(-a,0),$ $D=(a,0),$ y sea $O=(0,k)$ el centro del círculo. Entonces $a^2+k^2=25.$ Los puntos medios de todas las cuerdas con extremo en $A$ forman el círculo con centro $\frac{A+O}{2}$ y radio $\frac{5}{2}.$ Como $AD$ es la única cuerda de este tipo bisecada por la recta $BC,$ esa recta es tangente al círculo de puntos medios en $H.$

Por tanto, para $BC$ se puede tomar $u=\frac{(k,a)}{5}$ como vector unitario de dirección, perpendicular a $A+O=(-a,k).$ Escribe $B=-pu$ y $C=qu,$ donde $p,q>0.$ Entonces $p+q=6,$ y el teorema de las cuerdas que se cortan da $pq=a^2.$ Al sustituir la recta en el círculo original también se obtiene $q-p=2u\mathbin{\cdot}O=\frac{2ak}{5}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} 36-4a^2&=(q-p)^2\\ &=\frac{4a^2(25-a^2)}{25}, \end{aligned}$ de modo que $a^4-50a^2+225=0.$ Sus raíces son $a^2=5$ y $45,$ pero $a^2=pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}=9.$ Así, $a^2=5,$ y $\{p,q\}=\{1,5\}.$

Elige $a=\sqrt5,$ $k=2\sqrt5,$ y $p=1$ para el extremo $B$ del arco menor $AD.$ Entonces $\begin{aligned} \overrightarrow{OA} &=(-\sqrt5,-2\sqrt5),\\ \overrightarrow{OB} &=\left(-\frac2{\sqrt5}, -\frac{11}{\sqrt5}\right). \end{aligned}$ El seno del ángulo central subtendido por el arco menor $AB$ es el valor absoluto del determinante de estos vectores radiales dividido entre $5^2,$ es decir, $\sin\overset{\frown}{AB}=\frac{|11-4|}{25}=\frac7{25}.$ Por consiguiente, $mn=7\cdot25=175.$

Let $H$ be the midpoint of $AD.$ Put $H=(0,0),$ $A=(-a,0),$ $D=(a,0),$ and let the circle’s center be $O=(0,k).$ Then $a^2+k^2=25.$ The midpoints of all chords starting at $A$ form the circle with center $\frac{A+O}{2}$ and radius $\frac{5}{2}.$ Because $AD$ is the only such chord bisected by the line $BC,$ that line is tangent to the midpoint circle at $H.$

Hence a unit direction vector for $BC$ may be taken as $u=\frac{(k,a)}{5},$ perpendicular to $A+O=(-a,k).$ Write $B=-pu$ and $C=qu,$ where $p,q>0.$ Then $p+q=6,$ and intersecting chords give $pq=a^2.$ Substituting the line into the original circle also gives $q-p=2u\mathbin{\cdot}O=\frac{2ak}{5}.$ Therefore $\begin{aligned} 36-4a^2&=(q-p)^2\\ &=\frac{4a^2(25-a^2)}{25}, \end{aligned}$ so $a^4-50a^2+225=0.$ Its roots are $a^2=5$ and $45,$ but $a^2=pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}=9.$ Thus $a^2=5,$ and $\{p,q\}=\{1,5\}.$

Choose $a=\sqrt5,$ $k=2\sqrt5,$ and $p=1$ for the endpoint $B$ on minor arc $AD.$ Then $\begin{aligned} \overrightarrow{OA} &=(-\sqrt5,-2\sqrt5),\\ \overrightarrow{OB} &=\left(-\frac2{\sqrt5}, -\frac{11}{\sqrt5}\right). \end{aligned}$ The sine of the central angle subtending minor arc $AB$ is the absolute determinant of these radius vectors divided by $5^2,$ namely $\sin\overset{\frown}{AB}=\frac{|11-4|}{25}=\frac7{25}.$ Hence $mn=7\cdot25=175.$

1983 AIME Problema 15

Respuesta: 175

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años