1983 AIME — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Sean $x,$ $y,$ y $z$ mayores que $1$ , y sea $w$ un número positivo tal que $\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12. \end{aligned}$ Halla $\log_z w.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ all exceed $1$ and let $w$ be a positive number such that $\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12. \end{aligned}$ Find $\log_z w.$

Respuesta

Respuesta: 60

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Reescribe cada logaritmo dado con base $w$

Rewrite each given logarithm with base $w$

Pista grande:

Expande $\log_w(xyz)$ como una suma de tres logaritmos

Expand $\log_w(xyz)$ as a sum of three logarithms

Solución:

Al tomar los recíprocos de los logaritmos dados se obtiene $\begin{aligned} \log_w x&=\frac1{24},\\ \log_w y&=\frac1{40},\\ \log_w(xyz)&=\frac1{12}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\log_w z=\frac1{12}-\frac1{24}-\frac1{40} =\frac1{60}.$ Al tomar el recíproco se obtiene $\log_z w=60.$

Taking reciprocals of the given logarithms gives $\begin{aligned} \log_w x&=\frac1{24},\\ \log_w y&=\frac1{40},\\ \log_w(xyz)&=\frac1{12}. \end{aligned}$ Therefore $\log_w z=\frac1{12}-\frac1{24}-\frac1{40} =\frac1{60}.$ Taking the reciprocal yields $\log_z w=60.$

2.

Sea $f(x)=|x-p|+|x-15|$ ${}+|x-p-15|,$ donde $0<p<15.$ Determina el valor mínimo que toma $f(x)$ para $x$ en el intervalo $p\leq x\leq15.$

Let $f(x)=|x-p|+|x-15|$ ${}+|x-p-15|,$ where $0<p<15.$ Determine the minimum value taken by $f(x)$ for $x$ in the interval $p\leq x\leq15.$

Respuesta

Respuesta: 15

Conceptos:valor absoluto optimización

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Determina el signo de cada expresión dentro de un valor absoluto en el intervalo dado

Determine the sign of each expression inside an absolute value on the given interval

Pista grande:

En $p\leq x\leq15,$ simplifica $f(x)$ a una función lineal decreciente

On $p\leq x\leq15,$ simplify $f(x)$ to a decreasing linear function

Solución:

Como $p\leq x\leq15,$ tenemos $\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}$ Por consiguiente, $f(x)=30-x.$ Esto se minimiza en el extremo derecho $x=15,$ donde su valor es $15.$

Since $p\leq x\leq15,$ we have $\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}$ Hence $f(x)=30-x.$ This is minimized at the right endpoint $x=15,$ where its value is $15.$

3.

¿Cuál es el producto de las raíces reales de la ecuación $\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}$

What is the product of the real roots of the equation $\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}$

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:radical sustitución Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

La expresión fuera del radical es $15$ menor que el radicando

The expression outside the radical is $15$ less than the radicand

Pista grande:

Sea $t=\sqrt{x^2+18x+45}$ y resuelve $t^2-15=2t$

Set $t=\sqrt{x^2+18x+45}$ and solve $t^2-15=2t$

Solución:

Sea $t=\sqrt{x^2+18x+45},$ de modo que $t\geq0.$ La ecuación se convierte en $t^2-15=2t,$ o $(t-5)(t+3)=0.$ Por tanto, $t=5,$ y $x^2+18x+45=25,$ así que las raíces reales satisfacen $x^2+18x+20=0.$ Por las fórmulas de Vieta, su producto es $20.$

Set $t=\sqrt{x^2+18x+45},$ so $t\geq0.$ The equation becomes $t^2-15=2t,$ or $(t-5)(t+3)=0.$ Thus $t=5,$ and $x^2+18x+45=25,$ so the real roots satisfy $x^2+18x+20=0.$ By Vieta’s formulas, their product is $20.$

4.

Una herramienta de corte de un taller mecánico tiene la forma de un círculo con una muesca, como se muestra. El radio del círculo es $\sqrt{50}$ cm, la longitud de $AB$ es $6$ cm y la de $BC$ es $2$ cm. El ángulo $ABC$ es recto. Halla el cuadrado de la distancia (en centímetros) de $B$ al centro del círculo.

A machine-shop cutting tool has the shape of a notched circle, as shown. The radius of the circle is $\sqrt{50}$ cm, the length of $AB$ is $6$ cm, and that of $BC$ is $2$ cm. The angle $ABC$ is a right angle. Find the square of the distance (in centimeters) from $B$ to the center of the circle.

Respuesta

Respuesta: 26

Conceptos:círculo geometría analítica mediatriz

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Coloca $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ y $C=(2,0)$

Put $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ and $C=(2,0)$

Pista grande:

El centro está en la mediatriz de $AC$ , a una distancia $\sqrt{40}$ de su punto medio

The center lies on the perpendicular bisector of $AC$ at distance $\sqrt{40}$ from its midpoint

Solución:

Coloca $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ y $C=(2,0).$ El punto medio de $AC$ es $M=(1,3),$ y $AC=\sqrt{40}.$ Si $O$ es el centro, entonces $\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}. \end{aligned}$ Un vector perpendicular a $AC=(2,-6)$ es $(6,2),$ que ya tiene longitud $\sqrt{40}.$ Por tanto, los dos centros posibles son $\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1). \end{aligned}$ En el círculo con muesca de la figura, el centro está en el lado opuesto a la muesca, así que $O=(-5,1).$ Por consiguiente, $BO^2=(-5)^2+1^2=26.$

Put $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ and $C=(2,0).$ The midpoint of $AC$ is $M=(1,3),$ and $AC=\sqrt{40}.$ If $O$ is the center, then $\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}. \end{aligned}$ A vector perpendicular to $AC=(2,-6)$ is $(6,2),$ which already has length $\sqrt{40}.$ Thus the two possible centers are $\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1). \end{aligned}$ The pictured notched circle has its center on the side opposite the notch, so $O=(-5,1).$ Therefore $BO^2=(-5)^2+1^2=26.$

5.

Supón que la suma de los cuadrados de dos números complejos $x$ y $y$ es $7$ , y la suma de sus cubos es $10.$ ¿Cuál es el mayor valor real que puede tomar $x+y$ ?

Suppose that the sum of the squares of two complex numbers $x$ and $y$ is $7$ and the sum of the cubes is $10.$ What is the largest real value that $x+y$ can have?

Respuesta

Respuesta: 4

Conceptos:número complejo simetría (álgebra)factorización

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Sea $s=x+y$ y $p=xy$

Let $s=x+y$ and $p=xy$

Pista grande:

Usa $x^2+y^2=s^2-2p$ para eliminar $p$ de $x^3+y^3=s^3-3ps$

Use $x^2+y^2=s^2-2p$ to eliminate $p$ from $x^3+y^3=s^3-3ps$

Solución:

Sean $s=x+y$ y $p=xy.$ De $x^2+y^2=s^2-2p=7,$ obtenemos $p=\frac{s^2-7}{2}.$ Además, $\begin{aligned} 10&=x^3+y^3\\ &=s^3-3ps\\ &=s^3-\frac{3s(s^2-7)}2. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} s^3-21s+20&=0,\\ (s-1)(s-4)(s+5)&=0. \end{aligned}$ Cada raíz produce un posible par de raíces complejas de $t^2-st+p=0,$ así que el mayor valor real posible de $s=x+y$ es $4.$

Let $s=x+y$ and $p=xy.$ From $x^2+y^2=s^2-2p=7,$ we get $p=\frac{s^2-7}{2}.$ Also, $\begin{aligned} 10&=x^3+y^3\\ &=s^3-3ps\\ &=s^3-\frac{3s(s^2-7)}2. \end{aligned}$ Hence $\begin{aligned} s^3-21s+20&=0,\\ (s-1)(s-4)(s+5)&=0. \end{aligned}$ Each root gives a possible pair of complex roots of $t^2-st+p=0,$ so the largest real possible value of $s=x+y$ is $4.$

6.

Sea $a_n=6^n+8^n.$ Determina el residuo al dividir $a_{83}$ entre $49.$

Let $a_n=6^n+8^n.$ Determine the remainder on dividing $a_{83}$ by $49.$

Respuesta

Respuesta: 35

Conceptos:teorema del binomio aritmética modular exponenciación modular

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Escribe $6=7-1$ y $8=7+1$

Write $6=7-1$ and $8=7+1$

Pista grande:

Módulo $49,$ solo sobreviven los términos constante y lineal de cada expansión binomial

Modulo $49,$ only the constant and linear terms of each binomial expansion survive

Solución:

Módulo $49,$ se anula todo término binomial que contenga $7^2$ . Como $83$ es impar, $6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7$ y $8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.$ Su suma es congruente con $166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.$

Modulo $49,$ every binomial term containing $7^2$ vanishes. Since $83$ is odd, $6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7$ and $8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.$ Their sum is congruent to $166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.$

7.

Veinticinco de los caballeros del rey Arturo están sentados en torno a su habitual mesa redonda. Se eligen tres de ellos, con todas las ternas igualmente probables, y se los envía a matar a un dragón que causaba problemas. Sea $P$ la probabilidad de que al menos dos de los tres ocuparan asientos contiguos. Si $P$ se escribe como una fracción irreducible, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

Twenty-five of King Arthur’s knights are seated at their customary round table. Three of them are chosen, with all choices of three equally likely, and are sent off to slay a troublesome dragon. Let $P$ be the probability that at least two of the three had been sitting next to each other. If $P$ is written as a fraction in lowest terms, what is the sum of the numerator and denominator?

Respuesta

Respuesta: 57

Conceptos:combinaciones conteo complementario probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Cuenta las selecciones complementarias en las que no hay dos caballeros elegidos adyacentes

Count the complementary selections in which no two chosen knights are adjacent

Pista grande:

Separa las selecciones que contienen a un caballero fijo de las que no lo contienen

Split into selections containing a fixed knight and selections not containing that knight

Solución:

Hay $\binom{25}{3}=2300$ selecciones. Fija un asiento. Si no se elige, seleccionar tres asientos no adyacentes entre los $24$ restantes equivale a elegir tres posiciones no consecutivas de una fila de $24,$ lo que da $\binom{22}{3}.$ Si se elige el asiento fijo, sus dos vecinos quedan prohibidos y los otros dos asientos elegidos deben ser no consecutivos entre la fila restante de $22,$ lo que da $\binom{21}{2}.$

Por tanto, el número de selecciones sin asientos elegidos adyacentes es $\begin{aligned} \binom{22}{3}+\binom{21}{2} &=1540+210\\ &=1750. \end{aligned}$ Así, $P=1-\frac{1750}{2300}=\frac{11}{46},$ y la suma pedida es $11+46=57.$

There are $\binom{25}{3}=2300$ selections. Fix one seat. If it is not selected, choosing three nonadjacent seats among the remaining $24$ seats is equivalent to choosing three nonconsecutive positions from a row of $24,$ giving $\binom{22}{3}.$ If the fixed seat is selected, its two neighbors are forbidden, and the other two selected seats must be nonconsecutive among the remaining row of $22,$ giving $\binom{21}{2}.$

Thus the number with no adjacent selected seats is $\begin{aligned} \binom{22}{3}+\binom{21}{2} &=1540+210\\ &=1750. \end{aligned}$ Therefore $P=1-\frac{1750}{2300}=\frac{11}{46},$ and the requested sum is $11+46=57.$

8.

¿Cuál es el mayor factor primo de $2$ cifras del entero $n=\binom{200}{100}$ ?

What is the largest $2$ -digit prime factor of the integer $n=\binom{200}{100}?$

Respuesta

Respuesta: 61

Conceptos:Fórmula de Legendre primo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Para un primo $p>50,$ compara el exponente de $p$ en $200!$ con el doble de su exponente en $100!$

For a prime $p>50,$ compare the exponent of $p$ in $200!$ with twice its exponent in $100!$

Pista grande:

Los primos de $67$ a $99$ se cancelan; los primos de $51$ a $66$ no

Primes from $67$ through $99$ cancel; primes from $51$ through $66$ do not

Solución:

Para un primo $p>50,$ tenemos $p^2>200,$ de modo que $\begin{aligned} v_p\left(\binom{200}{100}\right) &=\left\lfloor\frac{200}{p}\right\rfloor\\ &\quad-2\left\lfloor\frac{100}{p}\right\rfloor. \end{aligned}$ Si $67\leq p<100,$ esto es $2-2=0.$ Si $50<p\leq66,$ es $3-2=1.$ Por tanto, ningún primo mayor que $66$ divide al coeficiente binomial, mientras que todo primo entre $50$ y $66$ sí lo divide. El mayor de ellos es $61.$

For a prime $p>50,$ we have $p^2>200,$ so $\begin{aligned} v_p\left(\binom{200}{100}\right) &=\left\lfloor\frac{200}{p}\right\rfloor\\ &\quad-2\left\lfloor\frac{100}{p}\right\rfloor. \end{aligned}$ If $67\leq p<100,$ this is $2-2=0.$ If $50<p\leq66,$ it is $3-2=1.$ Hence no prime greater than $66$ divides the binomial coefficient, while every prime between $50$ and $66$ does. The largest such prime is $61.$

9.

Halla el valor mínimo de $\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}$ para $0<x<\pi.$

Find the minimum value of $\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}$ for $0<x<\pi.$

Respuesta

Respuesta: 12

Conceptos:Desigualdad MA-MG trigonometría optimización

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Sea $t=x\sin x,$ que es positivo en el intervalo dado

Set $t=x\sin x,$ which is positive on the given interval

Pista grande:

Aplica AM-GM a $9t+\frac4t$ y comprueba que se puede alcanzar la igualdad

Apply AM-GM to $9t+\frac4t$ and verify that equality is attainable

Solución:

Sea $t=x\sin x>0.$ La expresión se convierte en $9t+\frac4t\geq2\sqrt{9t\cdot\frac4t}=12,$ con igualdad cuando $9t=\frac{4}{t},$ o $t=\frac{2}{3}.$ La función continua $x\sin x$ tiende a $0$ cuando $x$ tiende a $0$ , y vale $\frac{\pi}{2}>\frac{2}{3}$ en $x=\frac{\pi}{2}.$ Por tanto, toma el valor $\frac{2}{3}$ en algún punto de $(0,\frac{\pi}{2}),$ de modo que se alcanza la cota inferior $12$ .

Let $t=x\sin x>0.$ The expression becomes $9t+\frac4t\geq2\sqrt{9t\cdot\frac4t}=12,$ with equality when $9t=\frac{4}{t},$ or $t=\frac{2}{3}.$ The continuous function $x\sin x$ tends to $0$ as $x$ tends to $0$ and equals $\frac{\pi}{2}>\frac{2}{3}$ at $x=\frac{\pi}{2}.$ Thus it takes the value $\frac{2}{3}$ somewhere in $(0,\frac{\pi}{2}),$ so the lower bound $12$ is attained.

10.

Los números $1447,$ $1005,$ y $1231$ tienen algo en común: cada uno es un número de cuatro cifras que comienza con $1$ y tiene exactamente dos cifras idénticas. ¿Cuántos números de este tipo hay?

The numbers $1447,$ $1005,$ and $1231$ have something in common: each is a four-digit number beginning with $1$ that has exactly two identical digits. How many such numbers are there?

Respuesta

Respuesta: 432

Conceptos:dígitos análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Separa el caso en que la cifra repetida es $1$ del caso en que no lo es

Separate the case where the repeated digit is $1$ from the case where it is not

Pista grande:

En cada caso, elige las posiciones de la cifra repetida antes de elegir la cifra distinta restante

In each case, choose the repeated digit’s positions before choosing the remaining distinct digit

Solución:

Si $1$ es la cifra repetida, exactamente una de las últimas tres posiciones contiene un $1.$ Hay $3$ opciones para esa posición, $9$ opciones para la siguiente cifra y $8$ para la última, pues esas dos cifras deben diferir entre sí y de $1.$ Esto da $3\cdot9\cdot8=216$ números.

Si se repite una cifra distinta de $1$ , hay $9$ opciones para esa cifra, $3$ maneras de elegir sus dos posiciones entre las últimas tres y $8$ opciones para la cifra restante. Esto da otros $9\cdot3\cdot8=216$ números. El total es $216+216=432.$

If $1$ is the repeated digit, exactly one of the last three positions contains $1.$ There are $3$ choices for that position, $9$ choices for the next digit, and $8$ for the last digit, since those two digits must differ from each other and from $1.$ This gives $3\cdot9\cdot8=216$ numbers.

If a digit other than $1$ is repeated, there are $9$ choices for that digit, $3$ ways to choose its two positions among the last three, and $8$ choices for the remaining digit. This gives another $9\cdot3\cdot8=216$ numbers. The total is $216+216=432.$

11.

El sólido mostrado tiene una base cuadrada de lado $s.$ La arista superior es paralela a la base y tiene longitud $2s.$ Todas las demás aristas tienen longitud $s.$ Dado que $s=6\sqrt2,$ ¿cuál es el volumen del sólido?

The solid shown has a square base of side length $s.$ The upper edge is parallel to the base and has length $2s.$ All other edges have length $s.$ Given that $s=6\sqrt2,$ what is the volume of the solid?

Respuesta

Respuesta: 288

Conceptos:Geometría 3D volumen escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Halla la altura proyectando cualquiera de los extremos de la arista superior sobre la base

Find the height by projecting either endpoint of the upper edge onto the base

Pista grande:

A una fracción $t$ de la altura, la sección transversal es un rectángulo de lados $s(1-t)$ y $s(1+t)$

At a fraction $t$ of the height, the cross-section is a rectangle with sides $s(1-t)$ and $s(1+t)$

Solución:

Cada extremo de la arista superior está unido a los extremos de un lado de la base cuadrada. Por tanto, su distancia al punto medio de ese lado es $\frac{\sqrt3s}{2}.$ La proyección de cada extremo superior queda $\frac{s}{2}$ más allá de ese punto medio, porque los dos extremos proyectados están separados por $2s$ , mientras que los puntos medios de los dos lados opuestos están separados por $s$ . Así, la altura $h$ satisface $h^2=\left(\frac{\sqrt3s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2 =\frac{s^2}{2},$ de modo que $h=\frac{s}{\sqrt2}.$

A una fracción $t$ de la altura sobre la base, la sección transversal es un rectángulo cuyas dimensiones son $s(1-t)$ y $s(1+t).$ Su área es $s^2(1-t^2).$ Por el principio de Cavalieri, el volumen es el volumen $s^2h$ de un prisma menos el volumen $\frac{s^2h}{3}$ de una pirámide: $V=\frac23s^2h=\frac{\sqrt2}{3}s^3.$ Al sustituir $s=6\sqrt2$ , se obtiene $V=288.$

Each endpoint of the upper edge is joined to the endpoints of one side of the square base. Its distance to that side’s midpoint is therefore $\frac{\sqrt3s}{2}.$ The projection of each upper endpoint lies $\frac{s}{2}$ beyond that midpoint, because the two projected endpoints are $2s$ apart while the two opposite-side midpoints are $s$ apart. Thus the height $h$ satisfies $h^2=\left(\frac{\sqrt3s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2 =\frac{s^2}{2},$ so $h=\frac{s}{\sqrt2}.$

At a fraction $t$ of the height above the base, the cross-section is a rectangle whose dimensions are $s(1-t)$ and $s(1+t).$ Its area is $s^2(1-t^2).$ By Cavalieri’s principle, the volume is the volume $s^2h$ of a prism minus the volume $\frac{s^2h}{3}$ of a pyramid: $V=\frac23s^2h=\frac{\sqrt2}{3}s^3.$ Substituting $s=6\sqrt2$ gives $V=288.$

12.

El diámetro $AB$ de un círculo tiene como longitud un entero de $2$ cifras (en base diez). Al invertir las cifras se obtiene la longitud de la cuerda perpendicular $CD.$ La distancia desde su punto de intersección $H$ hasta el centro $O$ es un número racional positivo. Determina la longitud de $AB.$

Diameter $AB$ of a circle has length a $2$ -digit integer (base ten). Reversing the digits gives the length of the perpendicular chord $CD.$ The distance from their intersection point $H$ to the center $O$ is a positive rational number. Determine the length of $AB.$

Respuesta

Respuesta: 65

Conceptos:cuerda dígitos cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Escribe el diámetro como $10a+b$ y la cuerda como $10b+a$

Write the diameter as $10a+b$ and the chord as $10b+a$

Pista grande:

El cuadrado de la distancia del centro a la cuerda es la cuarta parte de la diferencia de sus cuadrados

The squared distance from the center to the chord is one fourth the difference of their squares

Solución:

Sean $10a+b$ la longitud del diámetro y $10b+a$ la de la cuerda. Como una perpendicular desde el centro biseca una cuerda, $\begin{aligned} 4OH^2&=(10a+b)^2\\ &\quad-(10b+a)^2\\ &=99(a^2-b^2). \end{aligned}$ Para que $OH$ sea racional, $11(a^2-b^2)$ debe ser un cuadrado. Por tanto, es igual a $121c^2,$ de modo que $(a-b)(a+b)=11c^2.$ Como $a$ y $b$ son cifras con $a>b,$ el lado izquierdo es a lo sumo $81,$ así que $c=1$ o $2.$ Si $c=1,$ los factores son $1$ y $11,$ lo que da $a=6$ y $b=5.$ Si $c=2,$ los pares de factores de $44$ tienen distinta paridad o dan $a>9.$ Por consiguiente, el diámetro es $65.$

Let the diameter be $10a+b$ and the chord be $10b+a.$ Since a perpendicular from the center bisects a chord, $\begin{aligned} 4OH^2&=(10a+b)^2\\ &\quad-(10b+a)^2\\ &=99(a^2-b^2). \end{aligned}$ For $OH$ to be rational, $11(a^2-b^2)$ must be a square. Thus it equals $121c^2,$ so $(a-b)(a+b)=11c^2.$ Because $a$ and $b$ are digits with $a>b,$ the left side is at most $81,$ so $c=1$ or $2.$ If $c=1,$ the factors are $1$ and $11,$ giving $a=6$ and $b=5.$ If $c=2,$ the factor pairs of $44$ either have different parity or give $a>9.$ Hence the diameter is $65.$

13.

Para cada subconjunto no vacío de $\{1,2,3,\ldots,n\}$ , se define una suma alternada única de la siguiente manera: ordena los números del subconjunto en orden decreciente y luego, empezando por el mayor, suma y resta alternativamente los números sucesivos. (Por ejemplo, la suma alternada de $\{1,2,4,6,9\}$ es $9-6+4-2+1=6$ , y para $\{5\}$ es simplemente $5.$ ) Halla la suma de todas estas sumas alternadas para $n=7.$

For $\{1,2,3,\ldots,n\}$ and each of its nonempty subsets a unique alternating sum is defined as follows: Arrange the numbers in the subset in decreasing order and then, beginning with the largest, alternately add and subtract successive numbers. (For example, the alternating sum for $\{1,2,4,6,9\}$ is $9-6+4-2+1=6$ and for $\{5\}$ it is simply $5.$ ) Find the sum of all such alternating sums for $n=7.$

Respuesta

Respuesta: 448

Conceptos:subconjuntos doble conteo teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Suma por separado la contribución de cada número sobre todos los subconjuntos

Add the contribution of each number separately over all subsets

Pista grande:

El signo de $k$ depende solo de si el subconjunto contiene un número par o impar de elementos mayores que $k$

The sign of $k$ depends only on whether the subset contains an even or odd number of elements greater than $k$

Solución:

Fija $k.$ Una vez incluido $k,$ los $k-1$ elementos menores se pueden elegir arbitrariamente, lo que aporta un factor de $2^{k-1}.$ Si se eligen exactamente $j$ de los $7-k$ elementos mayores, el signo de $k$ es $(-1)^j.$ Por tanto, el coeficiente de $k$ en el total es $\begin{aligned} &2^{k-1}\sum_{j=0}^{7-k} (-1)^j\binom{7-k}{j}\\ &\qquad=2^{k-1}(1-1)^{7-k}. \end{aligned}$ Esto es $0$ para $k<7$ y $2^6$ para $k=7.$ Por consiguiente, el total es $7\cdot2^6=448.$

Fix $k.$ Once $k$ is included, the $k-1$ smaller elements may be chosen arbitrarily, contributing a factor of $2^{k-1}.$ If exactly $j$ of the $7-k$ larger elements are chosen, the sign of $k$ is $(-1)^j.$ Therefore the coefficient of $k$ in the total is $\begin{aligned} &2^{k-1}\sum_{j=0}^{7-k} (-1)^j\binom{7-k}{j}\\ &\qquad=2^{k-1}(1-1)^{7-k}. \end{aligned}$ This is $0$ for $k<7$ and $2^6$ for $k=7.$ Hence the total is $7\cdot2^6=448.$

14.

En la figura adjunta se trazan dos círculos de radios $6$ y $8$ , cuyos centros están separados por $12$ unidades. En $P,$ uno de los puntos de intersección, se traza una recta de modo que las cuerdas $QP$ y $PR$ tengan la misma longitud. Halla el cuadrado de la longitud de $QP.$

In the adjoining figure, two circles of radii $6$ and $8$ are drawn with their centers $12$ units apart. At $P,$ one of the points of intersection, a line is drawn in such a way that the chords $QP$ and $PR$ have equal length. Find the square of the length of $QP.$

Respuesta

Respuesta: 130

Conceptos:círculo cuerda geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Coloca los centros en $(-6,0)$ y $(6,0)$ y halla las coordenadas de $P$

Put the centers at $(-6,0)$ and $(6,0)$ and find the coordinates of $P$

Pista grande:

Si $Q=P-\ell u$ y $R=P+\ell u,$ resta, en cada círculo, las ecuaciones de igual radio para el extremo correspondiente y el punto de intersección

If $Q=P-\ell u$ and $R=P+\ell u,$ subtract the two equal-radius equations

Solución:

Coloca el centro del círculo de radio $8$ en $O_1=(-6,0)$ y el otro centro en $O_2=(6,0).$ Al restar las dos ecuaciones de los círculos se obtiene $P=\left(\frac76,\frac{\sqrt{455}}6\right),$ donde la coordenada $y$ positiva selecciona la intersección mostrada.

Sea $\ell$ la longitud común de las cuerdas y sea $u$ el vector unitario de $Q$ hacia $R.$ Entonces $Q=P-\ell u$ y $R=P+\ell u.$ Al comparar $Q$ con $P$ en el primer círculo y $R$ con $P$ en el segundo, se obtiene $\begin{aligned} u\mathbin{\cdot}(P-O_1)&=\frac{\ell}{2},\\ u\mathbin{\cdot}(P-O_2)&=-\frac{\ell}{2}. \end{aligned}$ Al sumar se ve que $u\perp P,$ de modo que $u=\frac{(\sqrt{455},-7)}{\sqrt{504}}.$ Al restar las dos ecuaciones de productos escalares se obtiene $\ell=u\mathbin{\cdot}(O_2-O_1) =\frac{12\sqrt{455}}{\sqrt{504}}.$ Por lo tanto, $\ell^2=\frac{144\cdot455}{504}=130.$

Put the center of the radius- $8$ circle at $O_1=(-6,0)$ and the other center at $O_2=(6,0).$ Subtracting the two circle equations gives $P=\left(\frac76,\frac{\sqrt{455}}6\right),$ where the positive $y$ -coordinate selects the pictured intersection.

Let the common chord length be $\ell,$ and let $u$ be the unit vector from $Q$ toward $R.$ Then $Q=P-\ell u$ and $R=P+\ell u.$ Comparing $Q$ with $P$ in the first circle and $R$ with $P$ in the second gives $\begin{aligned} u\mathbin{\cdot}(P-O_1)&=\frac{\ell}{2},\\ u\mathbin{\cdot}(P-O_2)&=-\frac{\ell}{2}. \end{aligned}$ Adding shows that $u\perp P,$ so $u=\frac{(\sqrt{455},-7)}{\sqrt{504}}.$ Subtracting the two dot-product equations gives $\ell=u\mathbin{\cdot}(O_2-O_1) =\frac{12\sqrt{455}}{\sqrt{504}}.$ Therefore $\ell^2=\frac{144\cdot455}{504}=130.$

15.

La figura adjunta muestra dos cuerdas que se cortan en un círculo, con $B$ en el arco menor $AD.$ Supón que el radio del círculo es $5,$ que $BC=6,$ y que $AD$ es bisecada por $BC.$ Supón además que $AD$ es la única cuerda con extremo en $A$ que es bisecada por $BC.$ Se deduce que el seno del ángulo central subtendido por el arco menor $AB$ es un número racional. Si este número se expresa como una fracción irreducible $\frac{m}{n}$ , ¿cuál es el producto $mn$ ?

The adjoining figure shows two intersecting chords in a circle, with $B$ on minor arc $AD.$ Suppose that the radius of the circle is $5,$ that $BC=6,$ and that $AD$ is bisected by $BC.$ Suppose further that $AD$ is the only chord starting at $A$ which is bisected by $BC.$ It follows that the sine of the minor arc $AB$ is a rational number. If this fraction is expressed as a fraction $\frac{m}{n}$ in lowest terms, what is the product $mn?$

Respuesta

Respuesta: 175

Conceptos:cuerda recta tangente potencia de un punto geometría analítica

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Los puntos medios de todas las cuerdas con extremo en $A$ están en el círculo cuyo diámetro une $A$ con el centro

The midpoints of all chords from $A$ lie on the circle with diameter joining $A$ to the center

Pista grande:

La unicidad hace que $BC$ sea tangente a ese círculo de puntos medios en el punto medio de $AD$

Uniqueness makes $BC$ tangent to that midpoint circle at the midpoint of $AD$

Solución:

Sea $H$ el punto medio de $AD.$ Coloca $H=(0,0),$ $A=(-a,0),$ $D=(a,0),$ y sea $O=(0,k)$ el centro del círculo. Entonces $a^2+k^2=25.$ Los puntos medios de todas las cuerdas con extremo en $A$ forman el círculo con centro $\frac{A+O}{2}$ y radio $\frac{5}{2}.$ Como $AD$ es la única cuerda de este tipo bisecada por la recta $BC,$ esa recta es tangente al círculo de puntos medios en $H.$

Por tanto, para $BC$ se puede tomar $u=\frac{(k,a)}{5}$ como vector unitario de dirección, perpendicular a $A+O=(-a,k).$ Escribe $B=-pu$ y $C=qu,$ donde $p,q>0.$ Entonces $p+q=6,$ y el teorema de las cuerdas que se cortan da $pq=a^2.$ Al sustituir la recta en el círculo original también se obtiene $q-p=2u\mathbin{\cdot}O=\frac{2ak}{5}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} 36-4a^2&=(q-p)^2\\ &=\frac{4a^2(25-a^2)}{25}, \end{aligned}$ de modo que $a^4-50a^2+225=0.$ Sus raíces son $a^2=5$ y $45,$ pero $a^2=pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}=9.$ Así, $a^2=5,$ y $\{p,q\}=\{1,5\}.$

Elige $a=\sqrt5,$ $k=2\sqrt5,$ y $p=1$ para el extremo $B$ del arco menor $AD.$ Entonces $\begin{aligned} \overrightarrow{OA} &=(-\sqrt5,-2\sqrt5),\\ \overrightarrow{OB} &=\left(-\frac2{\sqrt5}, -\frac{11}{\sqrt5}\right). \end{aligned}$ El seno del ángulo central subtendido por el arco menor $AB$ es el valor absoluto del determinante de estos vectores radiales dividido entre $5^2,$ es decir, $\sin\overset{\frown}{AB}=\frac{|11-4|}{25}=\frac7{25}.$ Por consiguiente, $mn=7\cdot25=175.$

Let $H$ be the midpoint of $AD.$ Put $H=(0,0),$ $A=(-a,0),$ $D=(a,0),$ and let the circle’s center be $O=(0,k).$ Then $a^2+k^2=25.$ The midpoints of all chords starting at $A$ form the circle with center $\frac{A+O}{2}$ and radius $\frac{5}{2}.$ Because $AD$ is the only such chord bisected by the line $BC,$ that line is tangent to the midpoint circle at $H.$

Hence a unit direction vector for $BC$ may be taken as $u=\frac{(k,a)}{5},$ perpendicular to $A+O=(-a,k).$ Write $B=-pu$ and $C=qu,$ where $p,q>0.$ Then $p+q=6,$ and intersecting chords give $pq=a^2.$ Substituting the line into the original circle also gives $q-p=2u\mathbin{\cdot}O=\frac{2ak}{5}.$ Therefore $\begin{aligned} 36-4a^2&=(q-p)^2\\ &=\frac{4a^2(25-a^2)}{25}, \end{aligned}$ so $a^4-50a^2+225=0.$ Its roots are $a^2=5$ and $45,$ but $a^2=pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}=9.$ Thus $a^2=5,$ and $\{p,q\}=\{1,5\}.$

Choose $a=\sqrt5,$ $k=2\sqrt5,$ and $p=1$ for the endpoint $B$ on minor arc $AD.$ Then $\begin{aligned} \overrightarrow{OA} &=(-\sqrt5,-2\sqrt5),\\ \overrightarrow{OB} &=\left(-\frac2{\sqrt5}, -\frac{11}{\sqrt5}\right). \end{aligned}$ The sine of the central angle subtending minor arc $AB$ is the absolute determinant of these radius vectors divided by $5^2,$ namely $\sin\overset{\frown}{AB}=\frac{|11-4|}{25}=\frac7{25}.$ Hence $mn=7\cdot25=175.$

Problemas del 1983 AIME

Respuesta: 60

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 15

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 26

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 4

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 35

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 57

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 61

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 12

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 432

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 288

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 65

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 448

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 130

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 175

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: