Question

Una herramienta de corte de un taller mecánico tiene la forma de un círculo con una muesca, como se muestra. El radio del círculo es $\sqrt{50}$ cm, la longitud de $AB$ es $6$ cm y la de $BC$ es $2$ cm. El ángulo $ABC$ es recto. Halla el cuadrado de la distancia (en centímetros) de $B$ al centro del círculo.

A machine-shop cutting tool has the shape of a notched circle, as shown. The radius of the circle is $\sqrt{50}$ cm, the length of $AB$ is $6$ cm, and that of $BC$ is $2$ cm. The angle $ABC$ is a right angle. Find the square of the distance (in centimeters) from $B$ to the center of the circle.

Respuesta

Respuesta: 26

Conceptos:círculo geometría analítica mediatriz

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Coloca $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ y $C=(2,0)$

Put $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ and $C=(2,0)$

Pista grande:

El centro está en la mediatriz de $AC$ , a una distancia $\sqrt{40}$ de su punto medio

The center lies on the perpendicular bisector of $AC$ at distance $\sqrt{40}$ from its midpoint

Solución:

Coloca $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ y $C=(2,0).$ El punto medio de $AC$ es $M=(1,3),$ y $AC=\sqrt{40}.$ Si $O$ es el centro, entonces $\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}. \end{aligned}$ Un vector perpendicular a $AC=(2,-6)$ es $(6,2),$ que ya tiene longitud $\sqrt{40}.$ Por tanto, los dos centros posibles son $\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1). \end{aligned}$ En el círculo con muesca de la figura, el centro está en el lado opuesto a la muesca, así que $O=(-5,1).$ Por consiguiente, $BO^2=(-5)^2+1^2=26.$

Put $B=(0,0),$ $A=(0,6),$ and $C=(2,0).$ The midpoint of $AC$ is $M=(1,3),$ and $AC=\sqrt{40}.$ If $O$ is the center, then $\begin{aligned} OM&=\sqrt{OA^2-AM^2}\\ &=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}. \end{aligned}$ A vector perpendicular to $AC=(2,-6)$ is $(6,2),$ which already has length $\sqrt{40}.$ Thus the two possible centers are $\begin{aligned} M+(6,2)&=(7,5),\\ M-(6,2)&=(-5,1). \end{aligned}$ The pictured notched circle has its center on the side opposite the notch, so $O=(-5,1).$ Therefore $BO^2=(-5)^2+1^2=26.$

1983 AIME Problema 4

Respuesta: 26

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años