Question

¿Cuántas cuádruplas ordenadas de enteros $(a,b,c,d)$ con $0<a<b<c<d<500$ satisfacen $a+d=b+c$ y $bc-ad=93$ ?

How many ordered four-tuples of integers $(a,b,c,d)$ with $0<a<b<c<d<500$ satisfy $a+d=b+c$ and $bc-ad=93?$

Respuesta

Respuesta: 870

Conceptos:análisis por casos conteo de enteros en un rango factorización

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

La primera ecuación implica que $b-a=d-c$

The first equation implies that $b-a=d-c$

Pista grande:

Toma $x=b-a=d-c$ y factoriza $bc-ad$ en términos de $x$ y $c-a$

Set $x=b-a=d-c$ and factor $bc-ad$ in terms of $x$ and $c-a$

Solución:

Sean $x=b-a=d-c>0$ y $y=c-a.$ Entonces $\begin{aligned}bc-ad&=(a+x)c-a(c+x)\\&=x(c-a)=xy=93.\end{aligned}$ Como $b<c,$ necesitamos $x<y.$ Los pares de factores positivos son $(x,y)=(1,93)$ y $(3,31).$ Para el primero, $d=a+94<500$ da $405$ opciones para $a.$ Para el segundo, $d=a+34<500$ da $465$ opciones. El total es $405+465=870.$

Let $x=b-a=d-c>0$ and $y=c-a.$ Then $\begin{aligned}bc-ad&=(a+x)c-a(c+x)\\&=x(c-a)=xy=93.\end{aligned}$ Since $b<c,$ we need $x<y.$ The positive factor pairs are $(x,y)=(1,93)$ and $(3,31).$ For the first, $d=a+94<500$ gives $405$ choices for $a.$ For the second, $d=a+34<500$ gives $465$ choices. The total is $405+465=870.$

1993 AIME Problema 4

Respuesta: 870

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años