Question

Supón que $|x_i|\lt1$ para $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Supón además que

$\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}$

¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

Suppose that $|x_i|\lt1$ for $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Suppose further that

$\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}$

What is the smallest possible value of $n?$

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:valor absoluto desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Sea $P$ la suma de los términos positivos y $N$ la suma de los valores absolutos de los términos negativos

Let $P$ be the sum of the positive terms and $N$ the sum of the absolute values of the negative terms

Pista grande:

El lado izquierdo menos el último valor absoluto es igual a $2\min(P,N)$

The left side minus the final absolute value equals $2\min(P,N)$

Solución:

Sea $P$ la suma de los $x_i$ positivos y $N$ la suma de los valores absolutos de los términos negativos $x_i.$ Entonces $\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19,\end{aligned}$ así que tanto $P$ como $N$ son al menos $9.5.$ Como todo $|x_i|\lt1,$ cada signo requiere al menos $10$ términos, lo que da $n\geq20.$ La igualdad se alcanza con diez términos iguales a $0.95$ y diez iguales a $-0.95,$ así que el mínimo es $20.$

Let $P$ be the sum of the positive $x_i$ and $N$ the sum of the absolute values of the negative $x_i.$ Then $\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19,\end{aligned}$ so both $P$ and $N$ are at least $9.5.$ Because every $|x_i|\lt1,$ each sign requires at least $10$ terms, giving $n\geq20.$ Equality is attainable with ten terms equal to $0.95$ and ten equal to $-0.95,$ so the minimum is $20.$

1988 AIME Problema 4

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años