Question

Halla $(\log_2 x)^2$ si $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).$

Find $(\log_2 x)^2$ if $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).$

Respuesta

Respuesta: 27

Conceptos:logaritmo sustitución manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea $y=\log_2x$ y reescribe cada logaritmo en base $8$ usando la base $2$

Set $y=\log_2x$ and rewrite every base- $8$ logarithm in base $2$

Pista grande:

Resuelve la ecuación lineal resultante para $\log_2 y$

Solve the resulting linear equation for $\log_2 y$

Solución:

Sea $y=\log_2x\gt0.$ Como $\log_8x=\frac{y}{3},$ la ecuación se convierte en $\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.$ Entonces $\frac23\log_2y=\log_23,$ así que $y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.$ Por tanto, $(\log_2x)^2=y^2=27.$

Put $y=\log_2x\gt0.$ Since $\log_8x=\frac{y}{3},$ the equation becomes $\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.$ Hence $\frac23\log_2y=\log_23,$ so $y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.$ Therefore $(\log_2x)^2=y^2=27.$

1988 AIME Problema 3

Respuesta: 27

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años