Solución:

Cada radicando se factoriza: $2x - xy = x(2 - y),$ y así sucesivamente, de modo que $0 \lt x, y, z \le 2.$ Sustituye $x = 2\sin^2\alpha,$ $y = 2\sin^2\beta,$ $z = 2\sin^2\gamma$ con $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0^\circ, 90^\circ\right].$ Entonces $\sqrt{x(2 - y)} = \sqrt{4\sin^2\alpha\cos^2\beta}$ $= 2\sin\alpha\cos\beta,$ y cada ecuación se reduce por la fórmula de adición del seno: $$2\sin(\alpha + \beta) = 1,$$ $$2\sin(\beta + \gamma) = \sqrt{2},$$ $$2\sin(\gamma + \alpha) = \sqrt{3}.$$

Tomando $\alpha + \beta = 30^\circ,$ $\beta + \gamma = 45^\circ,$ $\gamma + \alpha = 60^\circ$ y resolviendo, $\alpha = 22.5^\circ,$ $\beta = 7.5^\circ,$ $\gamma = 37.5^\circ.$ (Las elecciones de rama suplementaria consistentes con los rangos de los ángulos llevan al mismo valor del cuadrado final.) Por la identidad del ángulo doble, $1 - x = \cos 2\alpha = \cos 45^\circ,$ $1 - y = \cos 15^\circ,$ y $1 - z = \cos 75^\circ.$

Por lo tanto $$\begin{aligned} &(1 - x)(1 - y)(1 - z) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\cos 15^\circ \\ &\quad {}\cdot \sin 15^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \end{aligned}$$ cuyo cuadrado es $\frac{2}{64} = \frac{1}{32}.$ Así que $m + n = 1 + 32 = 33.$