Question

Sean $EFGH,$ $EFDC,$ y $EHBC$ tres caras cuadradas adyacentes de un cubo, para el cual $EC = 8,$ y sea $A$ el octavo vértice del cubo. Sean $I,$ $J,$ y $K$ puntos sobre $\overline{EF},$ $\overline{EH},$ y $\overline{EC},$ respectivamente, de modo que $EI = EJ = EK = 2.$ Un sólido $S$ se obtiene perforando un túnel a través del cubo. Los lados del túnel son planos paralelos a $\overline{AE},$ y que contienen las aristas $\overline{IJ},$ $\overline{JK},$ y $\overline{KI}.$ El área de la superficie de $S,$ incluyendo las paredes del túnel, es $m + n\sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

Let $EFGH,$ $EFDC,$ and $EHBC$ be three adjacent square faces of a cube, for which $EC = 8,$ and let $A$ be the eighth vertex of the cube. Let $I,$ $J,$ and $K$ be points on $\overline{EF},$ $\overline{EH},$ and $\overline{EC},$ respectively, so that $EI = EJ = EK = 2.$ A solid $S$ is obtained by drilling a tunnel through the cube. The sides of the tunnel are planes parallel to $\overline{AE},$ and containing the edges $\overline{IJ},$ $\overline{JK},$ and $\overline{KI}.$ The surface area of $S,$ including the walls of the tunnel, is $m + n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Solución:

Coloca $A = (0,0,0)$ y $E = (8,8,8),$ de modo que $I = (6,8,8),$ $J = (8,6,8),$ $K = (8,8,6),$ y $\overline{AE}$ tiene dirección $(1,1,1).$ La recta que pasa por $I$ en esa dirección sale del cubo en $L = (0,2,2);$ de forma análoga, $J$ y $K$ llevan a $M = (2,0,2)$ y $N = (2,2,0).$ La pared del túnel que pasa por $I$ y $J$ es el plano $2z = x + y + 2,$ que también contiene a $L$ y $M$ y corta al eje $z$ en $O = (0,0,1);$ las otras dos paredes se comportan de forma simétrica, cortando a los ejes $y$ y $x$ en $(0,1,0)$ y $(1,0,0).$

Ahora suma la superficie. Cada una de las tres caras del cubo en $E$ pierde un triángulo rectángulo con catetos $2$ (como $IEJ$ ), dejando un área $64 - 2 = 62.$ Cada una de las tres caras en $A$ pierde un cuadrilátero de área $2:$ sobre la cara $z = 0$ sus vértices son $(0,0,0),$ $(1,0,0),$ $(2,2,0),$ $(0,1,0).$ Cada pared del túnel es un pentágono como $ILOMJ:$ el rectángulo $ILMJ$ con $IJ = 2\sqrt{2}$ y $IL = 6\sqrt{3}$ tiene área $12\sqrt{6},$ y el triángulo isósceles $LOM$ con base $LM = 2\sqrt{2}$ y altura $\sqrt{3}$ añade $\sqrt{6},$ para $13\sqrt{6}$ por pared.

El área total de la superficie es $6 \cdot 62 + 3 \cdot 13\sqrt{6} = 372 + 39\sqrt{6},$ así que $m + n + p = 372 + 39 + 6$ $= 417.$

Place $A = (0,0,0)$ and $E = (8,8,8),$ so that $I = (6,8,8),$ $J = (8,6,8),$ $K = (8,8,6),$ and $\overline{AE}$ has direction $(1,1,1).$ The line through $I$ in that direction leaves the cube at $L = (0,2,2);$ similarly $J$ and $K$ lead to $M = (2,0,2)$ and $N = (2,2,0).$ The tunnel wall through $I$ and $J$ is the plane $2z = x + y + 2,$ which also contains $L$ and $M$ and crosses the $z$ -axis at $O = (0,0,1);$ the other two walls behave symmetrically, crossing the $y$ - and $x$ -axes at $(0,1,0)$ and $(1,0,0).$

Now add up the surface. Each of the three cube faces at $E$ loses a right triangle with legs $2$ (such as $IEJ$ ), leaving area $64 - 2 = 62.$ Each of the three faces at $A$ loses a quadrilateral of area $2:$ on the face $z = 0$ its vertices are $(0,0,0),$ $(1,0,0),$ $(2,2,0),$ $(0,1,0).$ Each tunnel wall is a pentagon like $ILOMJ:$ the rectangle $ILMJ$ with $IJ = 2\sqrt{2}$ and $IL = 6\sqrt{3}$ has area $12\sqrt{6},$ and the isosceles triangle $LOM$ with base $LM = 2\sqrt{2}$ and height $\sqrt{3}$ adds $\sqrt{6},$ for $13\sqrt{6}$ per wall.

The total surface area is $6 \cdot 62 + 3 \cdot 13\sqrt{6} = 372 + 39\sqrt{6},$ so $m + n + p = 372 + 39 + 6$ $= 417.$

2001 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años