Question

Dado $\triangle ABC$ y un punto $P$ sobre uno de sus lados, llama a la recta $\ell$ la recta divisoria de $\triangle ABC$ a través de $P$ si $\ell$ pasa por $P$ y divide $\triangle ABC$ en dos polígonos de igual perímetro. Sea $\triangle ABC$ un triángulo donde $BC = 219$ y $AB$ y $AC$ son enteros positivos. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, y supón que las rectas divisorias de $\triangle ABC$ a través de $M$ y $N$ se cortan a $30^\circ.$ Halla el perímetro de $\triangle ABC.$

Given $\triangle ABC$ and a point $P$ on one of its sides, call line $\ell$ the splitting line of $\triangle ABC$ through $P$ if $\ell$ passes through $P$ and divides $\triangle ABC$ into two polygons of equal perimeter. Let $\triangle ABC$ be a triangle where $BC = 219$ and $AB$ and $AC$ are positive integers. Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, and suppose that the splitting lines of $\triangle ABC$ through $M$ and $N$ intersect at $30^\circ.$ Find the perimeter of $\triangle ABC.$

Respuesta

Solución:

Escribe $a = BC = 219,$ $b = CA,$ $c = AB,$ y $s$ para el semiperímetro. La recta divisoria a través de $M$ corta a $\overline{BC}$ en el punto $X$ con $BX = s - \frac{c}{2}$ (entonces cada pieza tiene perímetro $s$ ). En el triángulo $BMX,$ la ley de senos muestra $\angle BXM = \frac{C}{2}:$ esto requiere $c \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = (a + b)\sin\frac{C}{2},$ que se reduce mediante $a + b = 2R(\sin A + \sin B)$ $= 4R\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}$ y $c = 4R \sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ a $\sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{A - B}{2},$ cierto porque esos ángulos son complementarios. Por lo tanto, la recta divisoria a través de $M$ es paralela a la bisectriz desde $C,$ y de igual modo la que pasa por $N$ es paralela a la bisectriz desde $B.$

Las bisectrices internas desde $B$ y $C$ se cortan a $90^\circ + \frac{A}{2} \gt 90^\circ,$ así que el ángulo agudo entre las dos rectas divisorias es $90^\circ - \frac{A}{2} = 30^\circ,$ lo que obliga a $\angle A = 120^\circ.$ La ley de cosenos da $\begin{aligned} 219^2 &= b^2 + c^2 + bc \\ &= (b + c)^2 - bc. \end{aligned}$ Pon $p = b + c,$ de modo que $bc = p^2 - 219^2$ y $b, c$ son raíces de $t^2 - pt + (p^2 - 219^2),$ lo que exige que $4 \cdot 219^2 - 3p^2$ sea un cuadrado perfecto $k^2.$ Entonces $3 \mid k$ y $3 \mid p;$ escribir $p = 3r$ y $k = 3m$ convierte la condición en $m^2 + 3r^2 = 146^2.$ La desigualdad triangular $p \gt 219$ y $4 \cdot 219^2 \ge 3p^2$ restringen $74 \le r \le 84,$ y al revisarlos, solo $r = 80$ funciona, con $m = 46.$

Así que $b + c = 240$ y $bc = 240^2 - 47961 = 9639,$ lo que da $\{b, c\} = \{51, 189\},$ un triángulo válido. El perímetro es $219 + 240 = 459.$

Write $a = BC = 219,$ $b = CA,$ $c = AB,$ and $s$ for the semiperimeter. The splitting line through $M$ meets $\overline{BC}$ at the point $X$ with $BX = s - \frac{c}{2}$ (then each piece has perimeter $s$ ). In triangle $BMX,$ the law of sines shows $\angle BXM = \frac{C}{2}:$ this needs $c \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = (a + b)\sin\frac{C}{2},$ which reduces via $a + b = 2R(\sin A + \sin B)$ $= 4R\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}$ and $c = 4R \sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ to $\sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{A - B}{2},$ true because those angles are complementary. Hence the splitting line through $M$ is parallel to the angle bisector from $C,$ and likewise the one through $N$ is parallel to the bisector from $B.$

The internal bisectors from $B$ and $C$ meet at $90^\circ + \frac{A}{2} \gt 90^\circ,$ so the acute angle between the two splitting lines is $90^\circ - \frac{A}{2} = 30^\circ,$ forcing $\angle A = 120^\circ.$ The law of cosines gives $\begin{aligned} 219^2 &= b^2 + c^2 + bc \\ &= (b + c)^2 - bc. \end{aligned}$ Set $p = b + c,$ so $bc = p^2 - 219^2$ and $b, c$ are roots of $t^2 - pt + (p^2 - 219^2),$ requiring $4 \cdot 219^2 - 3p^2$ to be a perfect square $k^2.$ Then $3 \mid k$ and $3 \mid p;$ writing $p = 3r$ and $k = 3m$ turns the condition into $m^2 + 3r^2 = 146^2.$ The triangle inequality $p \gt 219$ and $4 \cdot 219^2 \ge 3p^2$ restrict $74 \le r \le 84,$ and checking these, only $r = 80$ works, with $m = 46.$

So $b + c = 240$ and $bc = 240^2 - 47961 = 9639,$ giving $\{b, c\} = \{51, 189\}$ — a valid triangle. The perimeter is $219 + 240 = 459.$

2022 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años