Question

Dado

\triangle ABC

y un punto

P

sobre uno de sus lados, llama a la recta

\ell

la recta divisoria de

\triangle ABC

a través de

P

si

\ell

pasa por

P

y divide

\triangle ABC

en dos polígonos de igual perímetro. Sea

\triangle ABC

un triángulo donde

BC = 219

y

AB

y

AC

son enteros positivos. Sean

M

y

N

los puntos medios de

\overline{AB}

y

\overline{AC},

respectivamente, y supón que las rectas divisorias de

\triangle ABC

a través de

M

y

N

se cortan a

30^\circ.

Halla el perímetro de

\triangle ABC.

Given

\triangle ABC

and a point

P

on one of its sides, call line

\ell

the splitting line of

\triangle ABC

through

P

if

\ell

passes through

P

and divides

\triangle ABC

into two polygons of equal perimeter. Let

\triangle ABC

be a triangle where

BC = 219

and

AB

and

AC

are positive integers. Let

M

and

N

be the midpoints of

\overline{AB}

and

\overline{AC},

respectively, and suppose that the splitting lines of

\triangle ABC

through

M

and

N

intersect at

30^\circ.

Find the perimeter of

\triangle ABC.

Respuesta

Respuesta: 459

Conceptos:bisectriz ley de los cosenos Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Muestra que la recta divisoria a través de

M

es paralela a la bisectriz desde

C:

corta a

\overline{BC}

en

X

con

BX = s - \frac{c}{2},

y

\angle BXM = \frac{C}{2}

Show the splitting line through

M

is parallel to the angle bisector from

C:

it meets

\overline{BC}

at

X

with

BX = s - \frac{c}{2},

and

\angle BXM = \frac{C}{2}

Pista grande:

Las bisectrices desde

B

y

C

se cruzan a

90^\circ + \frac{A}{2},

así que la condición de

30^\circ

obliga a

\angle A = 120^\circ;

luego haz que

4 \cdot 219^2 - 3(b+c)^2

sea un cuadrado perfecto

The bisectors from

B

and

C

cross at

90^\circ + \frac{A}{2},

so the

30^\circ

condition forces

\angle A = 120^\circ;

then make

4 \cdot 219^2 - 3(b+c)^2

a perfect square

Solución:

Escribe

a = BC = 219,

b = CA,

c = AB,

y

s

para el semiperímetro. La recta divisoria a través de

M

corta a

\overline{BC}

en el punto

X.

Al igualar los perímetros de las dos partes y cancelar el segmento común

\overline{MX},

se obtiene

\frac{c}{2}+BX=\frac{c}{2}+b+(a-BX),

por lo que

BX=\frac{a+b}{2}=s-\frac{c}{2}.

En el triángulo

BMX,

la ley de senos muestra

\angle BXM = \frac{C}{2}:

esto requiere

c \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = (a + b)\sin\frac{C}{2},

que se reduce mediante

a + b = 2R(\sin A + \sin B)

= 4R\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}

y

c = 4R \sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}

a

\sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{A - B}{2},

cierto porque esos ángulos son complementarios. Por lo tanto, la recta divisoria a través de

M

es paralela a la bisectriz desde

C,

y de igual modo la que pasa por

N

es paralela a la bisectriz desde

B.

Las bisectrices internas desde

B

y

C

forman un ángulo de

90^\circ + \frac{A}{2} \gt 90^\circ,

así que el ángulo agudo entre las dos rectas divisorias es

90^\circ - \frac{A}{2} = 30^\circ,

lo que obliga a

\angle A = 120^\circ.

La ley de cosenos da

\begin{aligned} 219^2 &= b^2 + c^2 + bc \\ &= (b + c)^2 - bc. \end{aligned}

Pon

p = b + c,

de modo que

bc = p^2 - 219^2

y

b

y

c

son raíces de

t^2 - pt + (p^2 - 219^2),

lo que exige que

4 \cdot 219^2 - 3p^2

sea un cuadrado perfecto

k^2.

Entonces

3

divide a

k

y

3

divide a

p;

escribir

p = 3r

y

k = 3m

convierte la condición en

m^2 + 3r^2 = 146^2.

La desigualdad triangular

p \gt 219

y

4 \cdot 219^2 \ge 3p^2

restringen

74 \le r \le 84,

y al revisarlos, solo

r = 80

funciona, con

m = 46.

Así que

b + c = 240

y

bc = 240^2 - 47961 = 9639,

lo que da

\{b, c\} = \{51, 189\},

un triángulo válido. El perímetro es

219 + 240 = 459.

Write

a = BC = 219,

b = CA,

c = AB,

and

s

for the semiperimeter. The splitting line through

M

meets

\overline{BC}

at the point

X.

Equating the two piece perimeters and cancelling their common segment

\overline{MX}

gives

\frac{c}{2}+BX=\frac{c}{2}+b+(a-BX),

so

BX=\frac{a+b}{2}=s-\frac{c}{2}.

In triangle

BMX,

the law of sines shows

\angle BXM = \frac{C}{2}:

this needs

c \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = (a + b)\sin\frac{C}{2},

which reduces via

a + b = 2R(\sin A + \sin B)

= 4R\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}

and

c = 4R \sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}

to

\sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{A - B}{2},

true because those angles are complementary. Hence the splitting line through

M

is parallel to the angle bisector from

C,

and likewise the one through

N

is parallel to the bisector from

B.

The internal bisectors from

B

and

C

meet at

90^\circ + \frac{A}{2} \gt 90^\circ,

so the acute angle between the two splitting lines is

90^\circ - \frac{A}{2} = 30^\circ,

forcing

\angle A = 120^\circ.

The law of cosines gives

\begin{aligned} 219^2 &= b^2 + c^2 + bc \\ &= (b + c)^2 - bc. \end{aligned}

Set

p = b + c,

so

bc = p^2 - 219^2

and

b

and

c

are roots of

t^2 - pt + (p^2 - 219^2),

requiring

4 \cdot 219^2 - 3p^2

to be a perfect square

k^2.

Then

3

divides

k

and

3

divides

p;

writing

p = 3r

and

k = 3m

turns the condition into

m^2 + 3r^2 = 146^2.

The triangle inequality

p \gt 219

and

4 \cdot 219^2 \ge 3p^2

restrict

74 \le r \le 84,

and checking these, only

r = 80

works, with

m = 46.

So

b + c = 240

and

bc = 240^2 - 47961 = 9639,

giving

\{b, c\} = \{51, 189\}

— a valid triangle. The perimeter is

219 + 240 = 459.

2022 AIME I Problema 14

Respuesta: 459

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años