Question

Halla $a$ si $a$ y $b$ son enteros tales que $x^2-x-1$ es un factor de $ax^{17}+bx^{16}+1.$

Find $a$ if $a$ and $b$ are integers such that $x^2-x-1$ is a factor of $ax^{17}+bx^{16}+1.$

Respuesta

Respuesta: 987

Conceptos:polinomio Fibonacci sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Módulo $x^2-x-1,$ las potencias satisfacen $x^n=F_nx+F_{n-1}$

Modulo $x^2-x-1,$ powers satisfy $x^n=F_nx+F_{n-1}$

Pista grande:

Iguala a cero ambos coeficientes del resto lineal y usa la identidad de Cassini

Set both coefficients of the linear remainder equal to zero and use Cassini’s identity

Solución:

Módulo $x^2-x-1,$ la relación $x^2=x+1$ da $x^n=F_nx+F_{n-1}.$ Por tanto, el resto es $\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1).\end{aligned}$ Ambos coeficientes deben anularse. Por la identidad de Cassini, el determinante de la matriz de coeficientes es $1597(610)-987^2=1$ y la regla de Cramer da entonces $a=987.$

Modulo $x^2-x-1,$ the relation $x^2=x+1$ gives $x^n=F_nx+F_{n-1}.$ Hence the remainder is $\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1).\end{aligned}$ Both coefficients must vanish. The determinant of the coefficient matrix is $1597(610)-987^2=1$ by Cassini’s identity. Cramer’s rule then gives $a=987.$

1988 AIME Problema 13

Respuesta: 987

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años