Question

Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$ . Desde cada vértice, traza una recta que pase por $P$ y llegue al lado opuesto. Sean $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ las longitudes de los segmentos indicados en la figura. Halla el producto $abc$ si $a+b+c=43$ y $d=3.$

Let $P$ be an interior point of triangle $ABC$ and extend lines from the vertices through $P$ to the opposite sides. Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ denote the lengths of the segments indicated in the figure. Find the product $abc$ if $a+b+c=43$ and $d=3.$

Respuesta

Respuesta: 441

Conceptos:puntos de masa razón y proporción simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Expresa las tres coordenadas baricéntricas de $P$ usando las razones $a:d,$ $b:d,$ $c:d$

Express the three barycentric coordinates of $P$ using the ratios $a:d,$ $b:d,$ $c:d$

Pista grande:

Usa $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1$ y desarrolla simétricamente

Use $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1$ and expand symmetrically

Solución:

A lo largo de la ceviana desde $A,$ la coordenada baricéntrica correspondiente a $A$ es $\frac{d}{a+d},$ y de forma análoga en los otros vértices. Como las tres coordenadas suman $1$ y $d=3,$ $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1.$ Sean $s_1=a+b+c=43,$ $s_2=ab+bc+ca,$ y $s_3=abc.$ Al eliminar denominadores se obtiene $\begin{aligned}3(s_2+6s_1+27)&=s_3+3s_2\\&\quad+9s_1+27.\end{aligned}$ Por tanto, $s_3=9s_1+54,$ así que $s_3=9(43)+54=441.$

Along the cevian from $A,$ the barycentric coordinate at $A$ is $\frac{d}{a+d},$ and similarly at the other vertices. Since the three coordinates sum to $1$ and $d=3,$ $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1.$ Put $s_1=a+b+c=43,$ $s_2=ab+bc+ca,$ and $s_3=abc.$ Clearing denominators gives $\begin{aligned}3(s_2+6s_1+27)&=s_3+3s_2\\&\quad+9s_1+27.\end{aligned}$ Therefore $s_3=9s_1+54,$ so $s_3=9(43)+54=441.$

1988 AIME Problema 12

Respuesta: 441

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años