Question

Sea $m$ el menor entero cuya raíz cúbica tiene la forma $n+r,$ donde $n$ es un entero positivo y $0<r<\frac{1}{1000}.$ Halla $n.$

Let $m$ be the smallest integer whose cube root has the form $n+r,$ where $n$ is a positive integer and $0<r<\frac{1}{1000}.$ Find $n.$

Respuesta

Respuesta: 19

Conceptos:potencia perfecta estimación desigualdad

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Para un $n$ fijo, el menor entero posible es $m=n^3+1$

For fixed $n,$ the smallest possible integer is $m=n^3+1$

Pista grande:

Compara $n^3+1$ con $(n+0.001)^3$

Compare $n^3+1$ with $(n+0.001)^3$

Solución:

Para un $n$ dado, el entero cuya raíz cúbica queda más cerca de $n$ por arriba es $m=n^3+1.$ Necesitamos $n^3+1<(n+0.001)^3,$ o bien $1<0.003n^2+0.000003n+10^{-9}.$ Esto falla para $n=18$ y se cumple para $n=19.$ El lado derecho es creciente para $n$ positivo, así que todo $n$ menor falla; todo $n$ mayor tiene un candidato mínimo mayor, $m=n^3+1.$ Por tanto, el menor $m$ ocurre cuando $n=19.$

For a given $n,$ the closest integer cube-root candidate above $n$ is $m=n^3+1.$ We need $n^3+1<(n+0.001)^3,$ or $1<0.003n^2+0.000003n+10^{-9}.$ This fails at $n=18$ and holds at $n=19.$ The right-hand side is increasing for positive $n,$ so every smaller $n$ fails; every larger $n$ has a larger least candidate $m=n^3+1.$ Hence the smallest $m$ occurs with $n=19.$

1987 AIME Problema 12

Respuesta: 19

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años