Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2005 AIME II Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2005 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

El cuadrado ABCDABCD tiene centro O,O, AB=900,AB = 900, EE y FF están sobre AB‾\overline{AB} con AE<BFAE \lt BF y EE entre AA y F,F, m∠EOF=45∘,m\angle EOF = 45^\circ, y EF=400.EF = 400. Dado que BF=p+qr,BF = p + q\sqrt{r}, donde p,p, qq y rr son enteros positivos y rr no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla p+q+r.p + q + r.
Square ABCDABCD has center O,O, AB=900,AB = 900, EE and FF are on AB‾\overline{AB} with AE<BFAE \lt BF and EE between AA and F,F, m∠EOF=45∘,m\angle EOF = 45^\circ, and EF=400.EF = 400. Given that BF=p+qr,BF = p + q\sqrt{r}, where p,p, q,q, and rr are positive integers and rr is not divisible by the square of any prime, find p+q+r.p + q + r.
Respuesta: 307
Conceptos:identidad trigonométricaFórmulas de Vietacuadrado (geometría)
Nivel de dificultad: 3060
Pista pequeña:
Sea GG el punto medio de AB‾;\overline{AB}; entonces OG=450,OG = 450, y el rayo OGOG descompone el ángulo de 45∘45^\circ como α+β.\alpha + \beta.
Let GG be the midpoint of AB‾;\overline{AB}; then OG=450,OG = 450, and ray OGOG splits the 45∘45^\circ angle into α+β\alpha + \beta
Pista grande:
A partir de tan⁡α+tan⁡β=89\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9} y tan⁡(α+β)=1,\tan(\alpha + \beta) = 1, obtén tan⁡αtan⁡β=19;\tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{9}; luego resuelve una ecuación cuadrática.
From tan⁡α+tan⁡β=89\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9} and tan⁡(α+β)=1,\tan(\alpha + \beta) = 1, get tan⁡αtan⁡β=19;\tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{9}; then solve a quadratic
Solución:
Sea GG el punto medio de AB‾,\overline{AB}, de modo que OG⊥ABOG \perp AB y OG=450.OG = 450. Con α=∠EOG\alpha = \angle EOG y β=∠FOG\beta = \angle FOG a ambos lados del rayo OG,OG, tenemos EG=450tan⁡α,EG = 450\tan\alpha, FG=450tan⁡β,FG = 450\tan\beta, y α+β=45∘.\alpha + \beta = 45^\circ. De EG+FG=EF=400,EG + FG = EF = 400, obtenemos tan⁡α+tan⁡β=89.\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}.
La fórmula de la tangente de la suma da 1=tan⁡45∘=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β,1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, así que tan⁡αtan⁡β=1−89=19.\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}. Por lo tanto tan⁡α\tan\alpha y tan⁡β\tan\beta son las raíces de 9t2−8t+1=0,9t^2 - 8t + 1 = 0, a saber 4±79.\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}.
Como AE=450−EGAE = 450 - EG y BF=450−FG,BF = 450 - FG, la condición AE<BFAE \lt BF significa EG>FG,EG \gt FG, así que tan⁡β=4−79.\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}. Entonces BF=450−450⋅4−79BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9} =250+507,= 250 + 50\sqrt{7}, y p+q+r=250+50+7=307.p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307.
Let GG be the midpoint of AB‾,\overline{AB}, so OG⊥ABOG \perp AB and OG=450.OG = 450. With α=∠EOG\alpha = \angle EOG and β=∠FOG\beta = \angle FOG on either side of ray OG,OG, we have EG=450tan⁡α,EG = 450\tan\alpha, FG=450tan⁡β,FG = 450\tan\beta, and α+β=45∘.\alpha + \beta = 45^\circ. From EG+FG=EF=400,EG + FG = EF = 400, we get tan⁡α+tan⁡β=89.\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}.
The tangent addition formula gives 1=tan⁡45∘=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β,1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, so tan⁡αtan⁡β=1−89=19.\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}. Hence tan⁡α\tan\alpha and tan⁡β\tan\beta are the roots of 9t2−8t+1=0,9t^2 - 8t + 1 = 0, namely 4±79.\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}.
Since AE=450−EGAE = 450 - EG and BF=450−FG,BF = 450 - FG, the condition AE<BFAE \lt BF means EG>FG,EG \gt FG, so tan⁡β=4−79.\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}. Then BF=450−450⋅4−79BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9} =250+507,= 250 + 50\sqrt{7}, and p+q+r=250+50+7=307.p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307.
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

El Problema 12 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II