Question

El cuadrado $ABCD$ tiene centro $O,$ $AB = 900,$ $E$ y $F$ están sobre $\overline{AB}$ con $AE \lt BF$ y $E$ entre $A$ y $F,$ $m\angle EOF = 45^\circ,$ y $EF = 400.$ Dado que $BF = p + q\sqrt{r},$ donde $p,$ $q$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $p + q + r.$

Square $ABCD$ has center $O,$ $AB = 900,$ $E$ and $F$ are on $\overline{AB}$ with $AE \lt BF$ and $E$ between $A$ and $F,$ $m\angle EOF = 45^\circ,$ and $EF = 400.$ Given that $BF = p + q\sqrt{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers and $r$ is not divisible by the square of any prime, find $p + q + r.$

Respuesta

Respuesta: 307

Conceptos:identidad trigonométrica Fórmulas de Vieta cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Sea $G$ el punto medio de $\overline{AB};$ entonces $OG = 450,$ y el rayo $OG$ descompone el ángulo de $45^\circ$ como $\alpha + \beta.$

Let $G$ be the midpoint of $\overline{AB};$ then $OG = 450,$ and ray $OG$ splits the $45^\circ$ angle into $\alpha + \beta$

Pista grande:

A partir de $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}$ y $\tan(\alpha + \beta) = 1,$ obtén $\tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{9};$ luego resuelve una ecuación cuadrática.

From $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}$ and $\tan(\alpha + \beta) = 1,$ get $\tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{9};$ then solve a quadratic

Solución:

Sea $G$ el punto medio de $\overline{AB},$ de modo que $OG \perp AB$ y $OG = 450.$ Con $\alpha = \angle EOG$ y $\beta = \angle FOG$ a ambos lados del rayo $OG,$ tenemos $EG = 450\tan\alpha,$ $FG = 450\tan\beta,$ y $\alpha + \beta = 45^\circ.$ De $EG + FG = EF = 400,$ obtenemos $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}.$

La fórmula de la tangente de la suma da $1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta},$ así que $\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}.$ Por lo tanto $\tan\alpha$ y $\tan\beta$ son las raíces de $9t^2 - 8t + 1 = 0,$ a saber $\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}.$

Como $AE = 450 - EG$ y $BF = 450 - FG,$ la condición $AE \lt BF$ significa $EG \gt FG,$ así que $\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}.$ Entonces $BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ $= 250 + 50\sqrt{7},$ y $p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307.$

Let $G$ be the midpoint of $\overline{AB},$ so $OG \perp AB$ and $OG = 450.$ With $\alpha = \angle EOG$ and $\beta = \angle FOG$ on either side of ray $OG,$ we have $EG = 450\tan\alpha,$ $FG = 450\tan\beta,$ and $\alpha + \beta = 45^\circ.$ From $EG + FG = EF = 400,$ we get $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}.$

The tangent addition formula gives $1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta},$ so $\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}.$ Hence $\tan\alpha$ and $\tan\beta$ are the roots of $9t^2 - 8t + 1 = 0,$ namely $\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}.$

Since $AE = 450 - EG$ and $BF = 450 - FG,$ the condition $AE \lt BF$ means $EG \gt FG,$ so $\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}.$ Then $BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ $= 250 + 50\sqrt{7},$ and $p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307.$

2005 AIME II Problema 12

Respuesta: 307

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años