Question

Dado un triángulo, su triángulo medial se obtiene uniendo los puntos medios de sus lados. Una sucesión de poliedros $\mathcal{P}_i$ se define recursivamente como sigue: $\mathcal{P}_0$ es un tetraedro regular cuyo volumen es $1.$ Para obtener $\mathcal{P}_{i+1},$ reemplaza el triángulo medial de cada cara de $\mathcal{P}_i$ por un tetraedro regular que apunta hacia afuera y que tiene ese triángulo medial como cara. El volumen de $\mathcal{P}_3$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Given a triangle, its midpoint triangle is obtained by joining the midpoints of its sides. A sequence of polyhedra $\mathcal{P}_i$ is defined recursively as follows: $\mathcal{P}_0$ is a regular tetrahedron whose volume is $1.$ To obtain $\mathcal{P}_{i+1},$ replace the midpoint triangle of every face of $\mathcal{P}_i$ by an outward-pointing regular tetrahedron that has the midpoint triangle as a face. The volume of $\mathcal{P}_3$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Adjuntar un tetraedro sobre el triángulo medial de una cara reemplaza esa cara por $6$ triángulos equiláteros con la mitad de la longitud del lado: los $3$ triángulos de las esquinas más las $3$ caras expuestas del nuevo tetraedro. Así que todas las caras de $\mathcal{P}_i$ son congruentes, con lado $\left(\frac{1}{2}\right)^i$ veces el original, y $\mathcal{P}_i$ tiene $4 \cdot 6^i$ caras.

Al pasar de $\mathcal{P}_i$ a $\mathcal{P}_{i+1}$ se pega un tetraedro regular sobre cada cara; cada uno es semejante a $\mathcal{P}_0$ con razón $\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1},$ por lo que tiene volumen $\left(\frac{1}{8}\right)^{i+1}.$ El volumen añadido es $4 \cdot 6^i \left(\frac{1}{8}\right)^{i+1} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^i.$

Por tanto, el volumen de $\mathcal{P}_3$ es $1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{9}{32} = \frac{69}{32},$ y $m + n = 69 + 32 = 101.$

Attaching a tetrahedron over the midpoint triangle of a face replaces that face by $6$ equilateral triangles of half the side length: the $3$ corner triangles plus $3$ exposed faces of the new tetrahedron. So all faces of $\mathcal{P}_i$ are congruent, with side $\left(\frac{1}{2}\right)^i$ times the original, and $\mathcal{P}_i$ has $4 \cdot 6^i$ faces.

Passing from $\mathcal{P}_i$ to $\mathcal{P}_{i+1}$ glues one regular tetrahedron onto each face; each is similar to $\mathcal{P}_0$ with ratio $\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1},$ hence has volume $\left(\frac{1}{8}\right)^{i+1}.$ The volume added is $4 \cdot 6^i \left(\frac{1}{8}\right)^{i+1} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^i.$

Therefore the volume of $\mathcal{P}_3$ is $1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{9}{32} = \frac{69}{32},$ and $m + n = 69 + 32 = 101.$

2001 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años