Question

Un cajón contiene una mezcla de calcetines rojos y azules, a lo sumo $1991$ en total. Al elegir al azar dos calcetines sin reemplazo, la probabilidad de que ambos sean rojos o ambos sean azules es exactamente $\frac{1}{2}$ . ¿Cuál es el mayor número posible de calcetines rojos en el cajón que es compatible con estos datos?

A drawer contains a mixture of red socks and blue socks, at most $1991$ in all. It so happens that, when two socks are selected randomly without replacement, there is a probability of exactly $\frac{1}{2}$ that both are red or both are blue. What is the largest possible number of red socks in the drawer that is consistent with this data?

Respuesta

Respuesta: 990

Conceptos:muestreo sin reemplazo cuadrado perfecto optimización

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Si hay $r$ calcetines rojos y $b$ azules, es equivalente exigir que la probabilidad de sacar uno de cada color sea $\frac{1}{2}$

If there are $r$ red and $b$ blue socks, it is equivalent to require probability $\frac{1}{2}$ of drawing one of each color

Pista grande:

Usa $n=r+b$ y $d=r-b$ para convertir la ecuación de probabilidad en una condición de cuadrado perfecto

Use $n=r+b$ and $d=r-b$ to turn the probability equation into a square condition

Solución:

Sean $r$ y $b$ las cantidades de calcetines de los dos colores, y sea $n=r+b.$ La probabilidad de sacar colores distintos también es $\frac{1}{2},$ por lo que $\begin{aligned}\frac{rb}{\binom n2}&=\frac12,\\4rb&=n(n-1).\end{aligned}$ Como $4rb=(r+b)^2-(r-b)^2,$ esto se convierte en $(r-b)^2=n.$ Por tanto, $n=k^2$ y, tomando el rojo como el color más numeroso, $r=\frac{k^2+k}{2}.$ El mayor cuadrado que no supera $1991$ es $44^2=1936,$ lo que da $r=\frac{1936+44}{2}=990.$

Let $r$ and $b$ be the two color counts and $n=r+b.$ The probability of drawing different colors is also $\frac{1}{2},$ so $\begin{aligned}\frac{rb}{\binom n2}&=\frac12,\\4rb&=n(n-1).\end{aligned}$ Since $4rb=(r+b)^2-(r-b)^2,$ this becomes $(r-b)^2=n.$ Thus $n=k^2$ and, choosing red as the more numerous color, $r=\frac{k^2+k}{2}.$ The largest square at most $1991$ is $44^2=1936,$ giving $r=\frac{1936+44}{2}=990.$

1991 AIME Problema 13

Respuesta: 990

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años