Question

Define la sucesión $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ mediante $a_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k),$ donde $k$ representa una medida en radianes. Halla el índice del término número $100$ para el cual $a_n \lt 0.$

Define the sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ by $a_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k),$ where $k$ represents radian measure. Find the index of the $100$ th term for which $a_n \lt 0.$

Respuesta

Respuesta: 628

Conceptos:identidad trigonométrica telescópica funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Multiplica la suma por $2\sin\frac{1}{2}$ y usa una identidad de producto a suma para que se telescopie

Multiply the sum by $2\sin\frac{1}{2}$ and use a product-to-sum identity to make it telescope

Pista grande:

$a_n \lt 0$ exactamente cuando $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m$ para algún entero positivo $m,$ y cada uno de esos intervalos contiene exactamente un entero

$a_n \lt 0$ exactly when $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m$ for some positive integer $m,$ and each such interval contains exactly one integer

Solución:

Multiplicando cada término por $2\sin\frac{1}{2}$ y usando $2\sin k \sin\frac{1}{2}$ $= \cos\left(k - \frac{1}{2}\right)$ $- \cos\left(k + \frac{1}{2}\right),$ la suma se telescopia: $a_n = \frac{\cos\frac{1}{2} - \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)}{2\sin\frac{1}{2}}.$

Por lo tanto $a_n \lt 0$ exactamente cuando $\cos\left(n + \frac{1}{2}\right) \gt \cos\frac{1}{2},$ lo cual ocurre exactamente cuando $n + \frac{1}{2}$ dista menos de $\frac{1}{2}$ de un múltiplo de $2\pi:$ $\begin{aligned} &2\pi m - \tfrac{1}{2} \lt n + \tfrac{1}{2} \\ &\lt 2\pi m + \tfrac{1}{2}, \end{aligned}$ es decir $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m.$ Cada intervalo $(2\pi m - 1,\, 2\pi m)$ tiene longitud $1$ y contiene exactamente un entero, a saber $\lfloor 2\pi m \rfloor.$

Por lo tanto el $100$ -ésimo término negativo tiene índice $\lfloor 200\pi \rfloor.$ Como $3.14 \lt \pi \lt 3.145,$ tenemos $628 \lt 200\pi \lt 629,$ así que el índice es $628.$

Multiplying each term by $2\sin\frac{1}{2}$ and using $2\sin k \sin\frac{1}{2}$ $= \cos\left(k - \frac{1}{2}\right)$ $- \cos\left(k + \frac{1}{2}\right),$ the sum telescopes: $a_n = \frac{\cos\frac{1}{2} - \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)}{2\sin\frac{1}{2}}.$

So $a_n \lt 0$ exactly when $\cos\left(n + \frac{1}{2}\right) \gt \cos\frac{1}{2},$ which happens exactly when $n + \frac{1}{2}$ is within $\frac{1}{2}$ of a multiple of $2\pi:$ $\begin{aligned} &2\pi m - \tfrac{1}{2} \lt n + \tfrac{1}{2} \\ &\lt 2\pi m + \tfrac{1}{2}, \end{aligned}$ i.e. $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m.$ Each interval $(2\pi m - 1,\, 2\pi m)$ has length $1$ and contains exactly one integer, namely $\lfloor 2\pi m \rfloor.$

Hence the $100$ th negative term has index $\lfloor 200\pi \rfloor.$ Since $3.14 \lt \pi \lt 3.145,$ we have $628 \lt 200\pi \lt 629,$ so the index is $628.$

2015 AIME II Problema 13

Respuesta: 628

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años