Question

Los términos de la sucesión $(a_i)$ definida por $a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}$ para $n \ge 1$ son enteros positivos. Halla el valor mínimo posible de $a_1 + a_2.$

The terms of the sequence $(a_i)$ defined by $a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}$ for $n \ge 1$ are positive integers. Find the minimum possible value of $a_1 + a_2.$

Respuesta

Solución:

Al eliminar denominadores, $a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009$ para todo $n \ge 1.$ Restar cada instancia de la siguiente da $\begin{aligned} &a_{n+2} - a_n \\ &= (a_{n+2} + 1)(a_{n+3} - a_{n+1}). \end{aligned}$

Si alguna diferencia $a_{n+2} - a_n$ fuera no nula, entonces toda diferencia posterior también sería no nula, y como cada $a_{n+2} + 1 \ge 2,$ la identidad obligaría a $|a_3 - a_1|$ $\gt |a_4 - a_2|$ $\gt |a_5 - a_3|$ $\gt \cdots,$ una sucesión infinita estrictamente decreciente de enteros positivos, lo cual es imposible. Por tanto $a_{n+2} = a_n$ para todo $n:$ los términos de índice impar son todos iguales y los de índice par son todos iguales, y cualquier elección de enteros positivos así funciona.

La recurrencia entonces se lee $a_1(1 + a_2) = a_1 + 2009,$ de modo que $a_1 a_2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.$ Entre los pares de factores de $2009,$ la suma es mínima para $41 \cdot 49,$ dando $41 + 49 = 90.$

Clearing denominators, $a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009$ for all $n \ge 1.$ Subtracting each instance from the next gives $\begin{aligned} &a_{n+2} - a_n \\ &= (a_{n+2} + 1)(a_{n+3} - a_{n+1}). \end{aligned}$

If some difference $a_{n+2} - a_n$ were nonzero, then every later difference would be nonzero as well, and since each $a_{n+2} + 1 \ge 2,$ the identity would force $|a_3 - a_1|$ $\gt |a_4 - a_2|$ $\gt |a_5 - a_3|$ $\gt \cdots,$ an infinite strictly decreasing sequence of positive integers — impossible. Hence $a_{n+2} = a_n$ for all $n:$ the odd-indexed terms are all equal and the even-indexed terms are all equal, and any such choice of positive integers works.

The recursion then reads $a_1(1 + a_2) = a_1 + 2009,$ so $a_1 a_2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.$ Among the factor pairs of $2009,$ the sum is smallest for $41 \cdot 49,$ giving $41 + 49 = 90.$

2009 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años