Question

Los términos de la sucesión

(a_i)

definida por

a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}

para

n \ge 1

son enteros positivos. Halla el valor mínimo posible de

a_1 + a_2.

The terms of the sequence

(a_i)

defined by

a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}

for

n \ge 1

are positive integers. Find the minimum possible value of

a_1 + a_2.

Respuesta

Respuesta: 90

Conceptos:recursión argumento extremal factorización en primos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Elimina denominadores:

a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009,

luego resta ecuaciones consecutivas.

Clear denominators:

a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009,

then subtract consecutive instances

Pista grande:

A menos que

a_{n+2} = a_n

siempre, las diferencias

|a_{n+2} - a_n|

decrecen estrictamente para siempre, lo cual es imposible; el caso de período dos resultante obliga a

a_1 a_2 = 2009.

Unless

a_{n+2} = a_n

always, the differences

|a_{n+2} - a_n|

strictly decrease forever, which is impossible; the resulting two-periodic case forces

a_1 a_2 = 2009

Solución:

Al eliminar denominadores,

a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009

para todo

n \ge 1.

Restar cada instancia de la siguiente da

\begin{aligned} &a_{n+2} - a_n \\ &= (a_{n+2} + 1)(a_{n+3} - a_{n+1}). \end{aligned}

Si alguna diferencia

a_{n+2} - a_n

fuera no nula, entonces toda diferencia posterior también sería no nula, y como cada

a_{n+2} + 1 \ge 2,

la identidad obligaría a

|a_3 - a_1|

\gt |a_4 - a_2|

\gt |a_5 - a_3|

\gt \cdots,

una sucesión infinita estrictamente decreciente de enteros positivos, lo cual es imposible. Por tanto

a_{n+2} = a_n

para todo

n:

los términos de índice impar son todos iguales y los de índice par son todos iguales.

La recurrencia entonces se lee

a_1(1 + a_2) = a_1 + 2009,

de modo que

a_1 a_2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.

Entre los pares de factores de

2009,

la suma es mínima para

41 \cdot 49,

dando

41 + 49 = 90.

Clearing denominators,

a_{n+2}(1 + a_{n+1}) = a_n + 2009

for all

n \ge 1.

Subtracting each instance from the next gives

\begin{aligned} &a_{n+2} - a_n \\ &= (a_{n+2} + 1)(a_{n+3} - a_{n+1}). \end{aligned}

If some difference

a_{n+2} - a_n

were nonzero, then every later difference would be nonzero as well, and since each

a_{n+2} + 1 \ge 2,

the identity would force

|a_3 - a_1|

\gt |a_4 - a_2|

\gt |a_5 - a_3|

\gt \cdots,

an infinite strictly decreasing sequence of positive integers — impossible. Hence

a_{n+2} = a_n

for all

n:

the odd-indexed terms are all equal and the even-indexed terms are all equal.

The recursion then reads

a_1(1 + a_2) = a_1 + 2009,

so

a_1 a_2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.

Among the factor pairs of

2009,

the sum is smallest for

41 \cdot 49,

giving

41 + 49 = 90.

2009 AIME I Problema 13

Respuesta: 90

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años