Question

Un hexágono regular con centro en el origen en el plano complejo tiene pares de lados opuestos separados una unidad. Un par de lados es paralelo al eje imaginario. Sea $R$ la región fuera del hexágono, y sea $S = \left\{\tfrac{1}{z} \mid z \in R\right\}.$ Entonces el área de $S$ tiene la forma $a\pi + \sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Halla $a + b.$

A regular hexagon with center at the origin in the complex plane has opposite pairs of sides one unit apart. One pair of sides is parallel to the imaginary axis. Let $R$ be the region outside the hexagon, and let $S = \left\{\tfrac{1}{z} \mid z \in R\right\}.$ Then the area of $S$ has the form $a\pi + \sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Respuesta: 29

Conceptos:número complejo transformación sector circular simetría

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Escribiendo $w = \frac{1}{z},$ el semiplano $\mathrm{Re}\,z \gt \frac{1}{2}$ se mapea exactamente sobre el disco de radio $1$ centrado en $1$

Writing $w = \frac{1}{z},$ the half-plane $\mathrm{Re}\,z \gt \frac{1}{2}$ maps exactly onto the disk of radius $1$ centered at $1$

Pista grande:

$S$ es la unión de seis discos unitarios centrados en las raíces sextas de la unidad; por simetría halla el área dentro de una cuña de $60^\circ$ como un sector de $120^\circ$ más dos triángulos

$S$ is the union of six unit disks centered at the sixth roots of unity; by symmetry find the area inside one $60^\circ$ wedge as a $120^\circ$ sector plus two triangles

Solución:

Los lados del hexágono están a distancia $\frac{1}{2}$ del origen, con un lado sobre la recta $\mathrm{Re}\,z = \frac{1}{2},$ así que $R$ es la unión de los seis semiplanos obtenidos al rotar $\mathrm{Re}\,z \gt \frac{1}{2}$ por múltiplos de $60^\circ.$ Si $w = u + vi = \frac{1}{z},$ entonces $\mathrm{Re}\,z = \mathrm{Re}\,\frac{1}{w} = \frac{u}{u^2 + v^2} \gt \frac{1}{2}$ es equivalente a $u^2 + v^2 \lt 2u,$ es decir, $(u - 1)^2 + v^2 \lt 1.$ Así que cada semiplano se mapea sobre un disco unitario abierto, y $S$ es la unión de seis discos unitarios centrados en las raíces sextas de la unidad.

Divide el plano en seis cuñas de $60^\circ$ mediante los rayos con ángulos $30^\circ + 60^\circ k;$ por simetría, dentro de cada cuña $S$ coincide con el disco cuyo centro está en esa cuña. Los rayos en $\pm 30^\circ$ cortan al círculo $|w - 1| = 1$ en $\left(\frac{3}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ así que la parte de $S$ en esa cuña consta de dos triángulos con vértices en $0,$ el centro $1,$ y uno de estos puntos, cada uno isósceles con dos lados $1$ y ángulo en el vértice $120^\circ,$ de área $\frac{\sqrt{3}}{4}$ , junto con el sector de $120^\circ$ del disco entre ellos, de área $\frac{\pi}{3}.$

Cada cuña contribuye por lo tanto $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2},$ y el área total es $\begin{aligned} 6\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) &= 2\pi + 3\sqrt{3} \\ &= 2\pi + \sqrt{27}. \end{aligned}$ Así $a = 2,$ $b = 27,$ y $a + b = 29.$

The hexagon’s sides lie at distance $\frac{1}{2}$ from the origin, with one side on the line $\mathrm{Re}\,z = \frac{1}{2},$ so $R$ is the union of the six half-planes obtained by rotating $\mathrm{Re}\,z \gt \frac{1}{2}$ by multiples of $60^\circ.$ If $w = u + vi = \frac{1}{z},$ then $\mathrm{Re}\,z = \mathrm{Re}\,\frac{1}{w} = \frac{u}{u^2 + v^2} \gt \frac{1}{2}$ is equivalent to $u^2 + v^2 \lt 2u,$ i.e. $(u - 1)^2 + v^2 \lt 1.$ So each half-plane maps onto an open unit disk, and $S$ is the union of six unit disks centered at the sixth roots of unity.

Cut the plane into six $60^\circ$ wedges by the rays at angles $30^\circ + 60^\circ k;$ by symmetry, within each wedge $S$ coincides with the disk whose center lies in that wedge. The rays at $\pm 30^\circ$ meet the circle $|w - 1| = 1$ at $\left(\frac{3}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ so the piece of $S$ in that wedge consists of two triangles with vertices at $0,$ the center $1,$ and one of these points — each isosceles with two sides $1$ and apex angle $120^\circ,$ area $\frac{\sqrt{3}}{4}$ — together with the $120^\circ$ sector of the disk between them, area $\frac{\pi}{3}.$

Each wedge therefore contributes $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2},$ and the total area is $\begin{aligned} 6\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) &= 2\pi + 3\sqrt{3} \\ &= 2\pi + \sqrt{27}. \end{aligned}$ Thus $a = 2,$ $b = 27,$ and $a + b = 29.$

2008 AIME II Problema 13

Respuesta: 29

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años