Solución:

Los lados del hexágono están a distancia $\frac{1}{2}$ del origen, con un lado sobre la recta $\mathrm{Re}\,z = \frac{1}{2},$ así que $R$ es la unión de los seis semiplanos obtenidos al rotar $\mathrm{Re}\,z \gt \frac{1}{2}$ por múltiplos de $60^\circ.$ Si $w = u + vi = \frac{1}{z},$ entonces $\mathrm{Re}\,z = \mathrm{Re}\,\frac{1}{w} = \frac{u}{u^2 + v^2} \gt \frac{1}{2}$ es equivalente a $u^2 + v^2 \lt 2u,$ es decir, $(u - 1)^2 + v^2 \lt 1.$ Así que cada semiplano se mapea sobre un disco unitario abierto, y $S$ es la unión de seis discos unitarios centrados en las raíces sextas de la unidad.

Divide el plano en seis cuñas de $60^\circ$ mediante los rayos con ángulos $30^\circ + 60^\circ k;$ por simetría, dentro de cada cuña $S$ coincide con el disco cuyo centro está en esa cuña. Los rayos en $\pm 30^\circ$ cortan al círculo $|w - 1| = 1$ en $\left(\frac{3}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ así que la parte de $S$ en esa cuña consta de dos triángulos con vértices en $0,$ el centro $1,$ y uno de estos puntos, cada uno isósceles con dos lados $1$ y ángulo en el vértice $120^\circ,$ de área $\frac{\sqrt{3}}{4}$, junto con el sector de $120^\circ$ del disco entre ellos, de área $\frac{\pi}{3}.$

Cada cuña contribuye por lo tanto $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2},$ y el área total es $$\begin{aligned} 6\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) &= 2\pi + 3\sqrt{3} \\ &= 2\pi + \sqrt{27}. \end{aligned}$$ Así $a = 2,$ $b = 27,$ y $a + b = 29.$