Question

Existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros tal que $\begin{aligned} P(x) &= \tiny \frac{(x^{2310} - 1)^6}{(x^{105} - 1)(x^{70} - 1)(x^{42} - 1)(x^{30} - 1)} \end{aligned}$ se cumple para todo $0 \lt x \lt 1.$ Halla el coeficiente de $x^{2022}$ en $P(x).$

There is a polynomial $P(x)$ with integer coefficients such that $\begin{aligned} P(x) &= \tiny \frac{(x^{2310} - 1)^6}{(x^{105} - 1)(x^{70} - 1)(x^{42} - 1)(x^{30} - 1)} \end{aligned}$ holds for every $0 \lt x \lt 1.$ Find the coefficient of $x^{2022}$ in $P(x).$

Respuesta

Solución:

Para $0 \lt x \lt 1,$ $\begin{aligned} P(x) &= (1 - x^{2310})^6 \\ &\quad {}\cdot \tiny \frac{1}{(1 - x^{105})(1 - x^{70})(1 - x^{42})(1 - x^{30})}, \end{aligned}$ y cada factor $\frac{1}{1 - x^k}$ se desarrolla como una serie geométrica. Como $2022 \lt 2310,$ el factor $(1 - x^{2310})^6$ solo aporta su término constante $1,$ así que el coeficiente de $x^{2022}$ es el número de soluciones enteras no negativas de $105a + 70b + 42c + 30d = 2022.$

Reduciendo módulo $2$ se obtiene $105a \equiv 2022,$ así que $a$ es par; módulo $3$ da $70b \equiv 2022 \equiv 0,$ así que $3 \mid b;$ módulo $5$ da $2c \equiv 2022 \equiv 2,$ así que $c \equiv 1 \pmod 5;$ módulo $7$ da $2d \equiv 2022 \equiv 6,$ así que $d \equiv 3 \pmod 7.$ Escribiendo $a = 2a',$ $b = 3b',$ $c = 5c' + 1,$ $d = 7d' + 3$ la ecuación se convierte en $\begin{aligned} &210(a' + b' + c' + d') + 42 \\ &\quad {}+ 90 = 2022, \end{aligned}$ así que $a' + b' + c' + d' = 9.$

Por estrellas y barras hay $\binom{12}{3} = 220$ soluciones, así que el coeficiente es $220.$

For $0 \lt x \lt 1,$ $\begin{aligned} P(x) &= (1 - x^{2310})^6 \\ &\quad {}\cdot \tiny \frac{1}{(1 - x^{105})(1 - x^{70})(1 - x^{42})(1 - x^{30})}, \end{aligned}$ and each factor $\frac{1}{1 - x^k}$ expands as a geometric series. Since $2022 \lt 2310,$ the factor $(1 - x^{2310})^6$ contributes only its constant term $1,$ so the coefficient of $x^{2022}$ is the number of nonnegative integer solutions of $105a + 70b + 42c + 30d = 2022.$

Reducing modulo $2$ gives $105a \equiv 2022,$ so $a$ is even; modulo $3$ gives $70b \equiv 2022 \equiv 0,$ so $3 \mid b;$ modulo $5$ gives $2c \equiv 2022 \equiv 2,$ so $c \equiv 1 \pmod 5;$ modulo $7$ gives $2d \equiv 2022 \equiv 6,$ so $d \equiv 3 \pmod 7.$ Writing $a = 2a',$ $b = 3b',$ $c = 5c' + 1,$ $d = 7d' + 3$ turns the equation into $\begin{aligned} &210(a' + b' + c' + d') + 42 \\ &\quad {}+ 90 = 2022, \end{aligned}$ so $a' + b' + c' + d' = 9.$

By stars and bars there are $\binom{12}{3} = 220$ solutions, so the coefficient is $220.$

2022 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años