Question

El triángulo $AB_0C_0$ tiene lados $AB_0 = 12,$ $B_0C_0 = 17,$ y $C_0A = 25.$ Para cada entero positivo $n,$ los puntos $B_n$ y $C_n$ se ubican sobre $\overline{AB_{n-1}}$ y $\overline{AC_{n-1}},$ respectivamente, creando tres triángulos semejantes $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1}$ $\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}.$ El área de la unión de todos los triángulos $B_{n-1}C_nB_n$ para $n \ge 1$ puede expresarse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $q.$

Triangle $AB_0C_0$ has side lengths $AB_0 = 12,$ $B_0C_0 = 17,$ and $C_0A = 25.$ For each positive integer $n,$ points $B_n$ and $C_n$ are located on $\overline{AB_{n-1}}$ and $\overline{AC_{n-1}},$ respectively, creating three similar triangles $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1}$ $\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}.$ The area of the union of all triangles $B_{n-1}C_nB_n$ for $n \ge 1$ can be expressed as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $q.$

Respuesta

Solución:

Por la fórmula de Herón con $s = 27,$ el área de $\triangle AB_0C_0$ es $\sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = 90.$ En la semejanza $\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0,$ el lado $B_0C_0$ corresponde a $AC_0,$ así que la razón es $r = \frac{17}{25},$ y $C_1C_0$ (que corresponde a $B_0C_0$ ) es igual a $17r.$ Por lo tanto $\frac{AC_1}{AC_0} = \frac{25 - 17r}{25} = 1 - r^2,$ que es la razón de semejanza de $\triangle AB_1C_1$ respecto a $\triangle AB_0C_0.$

Los segmentos $\overline{B_1C_1}$ y $\overline{B_0C_1}$ dividen $\triangle AB_0C_0$ en las tres piezas, así que $\begin{aligned} [B_0C_1B_1] &= 90\left(1 - r^2 - (1 - r^2)^2\right) \\ &= 90\,r^2(1 - r^2). \end{aligned}$ Cada etapa sucesiva repite la construcción dentro de $\triangle AB_nC_n,$ escalando todas las áreas por $(1 - r^2)^2,$ y los triángulos $B_{n-1}C_nB_n$ tienen interiores disjuntos.

El área de la unión es la serie geométrica $\begin{aligned} \frac{90\,r^2(1 - r^2)}{1 - (1 - r^2)^2} &= \frac{90(1 - r^2)}{2 - r^2} \\ &= 90 \cdot \frac{336/625}{961/625} \\ &= \frac{90 \cdot 336}{961}. \end{aligned}$ Como $961 = 31^2$ no comparte factor con $90 \cdot 336 = 30240,$ la respuesta es $q = 961.$

By Heron's formula with $s = 27,$ the area of $\triangle AB_0C_0$ is $\sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = 90.$ In the similarity $\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0,$ side $B_0C_0$ corresponds to $AC_0,$ so the ratio is $r = \frac{17}{25},$ and $C_1C_0$ (corresponding to $B_0C_0$ ) equals $17r.$ Hence $\frac{AC_1}{AC_0} = \frac{25 - 17r}{25} = 1 - r^2,$ which is the similarity ratio of $\triangle AB_1C_1$ to $\triangle AB_0C_0.$

Segments $\overline{B_1C_1}$ and $\overline{B_0C_1}$ split $\triangle AB_0C_0$ into the three pieces, so $\begin{aligned} [B_0C_1B_1] &= 90\left(1 - r^2 - (1 - r^2)^2\right) \\ &= 90\,r^2(1 - r^2). \end{aligned}$ Each successive stage repeats the construction inside $\triangle AB_nC_n,$ scaling all areas by $(1 - r^2)^2,$ and the triangles $B_{n-1}C_nB_n$ have disjoint interiors.

The union's area is the geometric series $\begin{aligned} \frac{90\,r^2(1 - r^2)}{1 - (1 - r^2)^2} &= \frac{90(1 - r^2)}{2 - r^2} \\ &= 90 \cdot \frac{336/625}{961/625} \\ &= \frac{90 \cdot 336}{961}. \end{aligned}$ Since $961 = 31^2$ shares no factor with $90 \cdot 336 = 30240,$ the answer is $q = 961.$

2013 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años