Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2013 AIME I Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2013 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

El triángulo AB0C0AB_0C_0 tiene lados AB0=12,AB_0 = 12, B0C0=17,B_0C_0 = 17, y C0A=25.C_0A = 25. Para cada entero positivo n,n, los puntos BnB_n y CnC_n se ubican sobre ABn−1‾\overline{AB_{n-1}} y ACn−1‾,\overline{AC_{n-1}}, respectivamente, creando tres triángulos semejantes △ABnCn∼△Bn−1CnCn−1\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1} ∼△ABn−1Cn−1.\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}. El área de la unión de todos los triángulos Bn−1CnBnB_{n-1}C_nB_n para n≥1n \ge 1 puede expresarse como pq,\frac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí. Halla q.q.
Triangle AB0C0AB_0C_0 has side lengths AB0=12,AB_0 = 12, B0C0=17,B_0C_0 = 17, and C0A=25.C_0A = 25. For each positive integer n,n, points BnB_n and CnC_n are located on ABn−1‾\overline{AB_{n-1}} and ACn−1‾,\overline{AC_{n-1}}, respectively, creating three similar triangles △ABnCn∼△Bn−1CnCn−1\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1} ∼△ABn−1Cn−1.\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}. The area of the union of all triangles Bn−1CnBnB_{n-1}C_nB_n for n≥1n \ge 1 can be expressed as pq,\frac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers. Find q.q.
Respuesta: 961
Conceptos:semejanzasucesión geométricaFórmula de Herónrecursión
Nivel de dificultad: 3160
Pista pequeña:
Empareja los lados correspondientes: △B0C1C0∼△AB0C0\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0 tiene razón B0C0AC0=1725\frac{B_0C_0}{AC_0} = \frac{17}{25}.
Match up corresponding sides: △B0C1C0∼△AB0C0\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0 has ratio B0C0AC0=1725\frac{B_0C_0}{AC_0} = \frac{17}{25}
Pista grande:
Con r=1725,r = \frac{17}{25}, el triángulo AB1C1AB_1C_1 tiene razón 1−r2,1 - r^2, así que las áreas de los triángulos disjuntos forman una serie geométrica con primer término 90r2(1−r2)90r^2(1 - r^2) y razón (1−r2)2(1 - r^2)^2.
With r=1725,r = \frac{17}{25}, triangle AB1C1AB_1C_1 has ratio 1−r2,1 - r^2, so the disjoint triangles’ areas form a geometric series with first term 90r2(1−r2)90r^2(1 - r^2) and ratio (1−r2)2(1 - r^2)^2
Solución:
Por la fórmula de Herón con s=27,s = 27, el área de △AB0C0\triangle AB_0C_0 es 27⋅15⋅10⋅2=90.\sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = 90. En la semejanza △B0C1C0∼△AB0C0,\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0, el lado B0C0B_0C_0 corresponde a AC0,AC_0, así que la razón es r=1725,r = \frac{17}{25}, y C1C0C_1C_0 (que corresponde a B0C0B_0C_0) es igual a 17r.17r. Por lo tanto AC1AC0=25−17r25=1−r2,\frac{AC_1}{AC_0} = \frac{25 - 17r}{25} = 1 - r^2, que es la razón de semejanza de △AB1C1\triangle AB_1C_1 respecto a △AB0C0.\triangle AB_0C_0.
Los segmentos B1C1‾\overline{B_1C_1} y B0C1‾\overline{B_0C_1} dividen △AB0C0\triangle AB_0C_0 en las tres piezas, así que [B0C1B1]=90(1−r2−(1−r2)2)=90 r2(1−r2). \begin{aligned} [B_0C_1B_1] &= 90\left(1 - r^2 - (1 - r^2)^2\right) \\ &= 90\,r^2(1 - r^2). \end{aligned} Cada etapa sucesiva repite la construcción dentro de △ABnCn,\triangle AB_nC_n, escalando todas las áreas por (1−r2)2,(1 - r^2)^2, y los triángulos Bn−1CnBnB_{n-1}C_nB_n tienen interiores disjuntos.
El área de la unión es la serie geométrica 90 r2(1−r2)1−(1−r2)2=90(1−r2)2−r2=90⋅336625961625=90⋅336961. \begin{aligned} \frac{90\,r^2(1 - r^2)}{1 - (1 - r^2)^2} &= \frac{90(1 - r^2)}{2 - r^2} \\ &= 90 \cdot \frac{\frac{336}{625}}{\frac{961}{625}} \\ &= \frac{90 \cdot 336}{961}. \end{aligned} Como 961=312961 = 31^2 no comparte factor con 90⋅336=30240,90 \cdot 336 = 30240, la respuesta es q=961.q = 961.
By Heron’s formula with s=27,s = 27, the area of △AB0C0\triangle AB_0C_0 is 27⋅15⋅10⋅2=90.\sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = 90. In the similarity △B0C1C0∼△AB0C0,\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0, side B0C0B_0C_0 corresponds to AC0,AC_0, so the ratio is r=1725,r = \frac{17}{25}, and C1C0C_1C_0 (corresponding to B0C0B_0C_0) equals 17r.17r. Hence AC1AC0=25−17r25=1−r2,\frac{AC_1}{AC_0} = \frac{25 - 17r}{25} = 1 - r^2, which is the similarity ratio of △AB1C1\triangle AB_1C_1 to △AB0C0.\triangle AB_0C_0.
Segments B1C1‾\overline{B_1C_1} and B0C1‾\overline{B_0C_1} split △AB0C0\triangle AB_0C_0 into the three pieces, so [B0C1B1]=90(1−r2−(1−r2)2)=90 r2(1−r2). \begin{aligned} [B_0C_1B_1] &= 90\left(1 - r^2 - (1 - r^2)^2\right) \\ &= 90\,r^2(1 - r^2). \end{aligned} Each successive stage repeats the construction inside △ABnCn,\triangle AB_nC_n, scaling all areas by (1−r2)2,(1 - r^2)^2, and the triangles Bn−1CnBnB_{n-1}C_nB_n have disjoint interiors.
The union’s area is the geometric series 90 r2(1−r2)1−(1−r2)2=90(1−r2)2−r2=90⋅336625961625=90⋅336961. \begin{aligned} \frac{90\,r^2(1 - r^2)}{1 - (1 - r^2)^2} &= \frac{90(1 - r^2)}{2 - r^2} \\ &= 90 \cdot \frac{\frac{336}{625}}{\frac{961}{625}} \\ &= \frac{90 \cdot 336}{961}. \end{aligned} Since 961=312961 = 31^2 shares no factor with 90⋅336=30240,90 \cdot 336 = 30240, the answer is q=961.q = 961.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

El Problema 13 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II