Question

计算乘积 $\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7) \end{gathered}\text{。}$

Evaluate the product $\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}$

答案

答案：104

知识点：代数变形平方差根式

难度评级：1890

小提示：

将因式配对，使每一对都可用平方差化简

Pair factors so that each pair is a difference of squares

大提示：

第一次配对后，剩余的根式只会以 $\sqrt{42}$ 的形式出现

After the first pairing, the remaining radicals occur only through $\sqrt{42}$

解答：

先将前两个因式配对，再将后两个配对： $\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42} \end{gathered}\text{。}$ 因此所求乘积为 $\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104 \end{aligned}\text{。}$

Pair the first two factors, then the last two: $\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42}. \end{gathered}$ Therefore the requested product is $\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104. \end{aligned}$

1986 AIME 第 2 题

答案：104

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题