Question

在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $\overline{AD}$ 上，点 $F$ 在边 $\overline{BC}$ 上，且 $BE = EF = FD = 30$ 。求正方形 $ABCD$ 的面积。

On square $ABCD,$ point $E$ lies on side $\overline{AD}$ and point $F$ lies on side $\overline{BC},$ so that $BE = EF = FD = 30.$ Find the area of square $ABCD.$

答案

答案：810

知识点：正方形（几何）坐标几何勾股定理

难度评级：1970

小提示：

设 $B = (0, 0)$ 、 $C = (s, 0)$ 、 $A = (0, s)$ 、 $D = (s, s)$ ，并令 $E = (a, s)$ 、 $F = (b, 0)$ 。

Put $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s),$ and write $E = (a, s),$ $F = (b, 0)$

大提示：

$BE = FD$ 迫使 $b = s - a$ ，然后 $EF = BE$ 迫使 $a = \frac{s}{3}$ ；最后用 $a^2 + s^2 = 900$ 。

$BE = FD$ forces $b = s - a,$ and then $EF = BE$ forces $a = \frac{s}{3};$ finish with $a^2 + s^2 = 900$

解答：

设边长为 $s$ ，并取 $B = (0, 0)$ 、 $C = (s, 0)$ 、 $A = (0, s)$ 、 $D = (s, s)$ 。令 $E = (a, s)$ 、 $F = (b, 0)$ 。于是 $BE^2 = a^2 + s^2$ ， $FD^2 = (s - b)^2 + s^2$ ，且 $EF^2 = (a - b)^2 + s^2$ 。

由 $BE = FD$ 得 $a = s - b$ ，所以 $a - b = 2a - s$ 。再由 $EF = BE$ 得 $(2a - s)^2 = a^2$ ，其解为 $a = \frac{s}{3}$ 和 $a = s$ （后一个解会把分别命名的点 $E$ 、 $F$ 与角点 $D$ 、 $B$ 重合，使三条线段都成为同一条对角线）。所以 $a = \frac{s}{3}$ 。

现在 $900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9}$ ，所以面积为 $s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810$ 。

Let the side length be $s,$ and place $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s).$ Write $E = (a, s)$ and $F = (b, 0).$ Then $BE^2 = a^2 + s^2,$ $FD^2 = (s - b)^2 + s^2,$ and $EF^2 = (a - b)^2 + s^2.$

From $BE = FD$ we get $a = s - b,$ so $a - b = 2a - s.$ Then $EF = BE$ gives $(2a - s)^2 = a^2,$ whose solutions are $a = \frac{s}{3}$ and $a = s$ (the latter identifies the separately named points $E$ and $F$ with corners $D$ and $B,$ making all three segments the same diagonal). So $a = \frac{s}{3}.$

Now $900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9},$ so the area is $s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810.$

2011 AIME II 第 2 题

答案：810

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题