Question

矩形 $ABCD$ 的边 $\overline{AB}$ 长为 $4$ ，边 $\overline{CB}$ 长为 $3$ 。用点 $A=P_0$ 、 $P_1$ 、 $\ldots$ 、 $P_{168}=B$ 将 $\overline{AB}$ 等分成 $168$ 段，并用点 $C=Q_0$ 、 $Q_1$ 、 $\ldots$ 、 $Q_{168}=B$ 将 $\overline{CB}$ 等分成 $168$ 段。对每个 $1\leq k\leq167$ ，作线段 $\overline{P_kQ_k}$ 。在边 $\overline{AD}$ 和 $\overline{CD}$ 上重复这一作法，再作对角线 $\overline{AC}$ 。求所作的 $335$ 条平行线段的长度之和。

Rectangle $ABCD$ has sides $\overline{AB}$ of length $4$ and $\overline{CB}$ of length $3.$ Divide $\overline{AB}$ into $168$ congruent segments with points $A=P_0,$ $P_1,$ $\ldots,$ $P_{168}=B,$ and divide $\overline{CB}$ into $168$ congruent segments with points $C=Q_0,$ $Q_1,$ $\ldots,$ $Q_{168}=B.$ For $1\leq k\leq167,$ draw the segments $\overline{P_kQ_k}.$ Repeat this construction on the sides $\overline{AD}$ and $\overline{CD},$ and then draw the diagonal $\overline{AC}.$ Find the sum of the lengths of the $335$ parallel segments drawn.

答案

答案：840

知识点：相似等差数列矩形

难度评级：1830

小提示：

每条线段 $\overline{P_kQ_k}$ 都平行于构成 $3$ - $4$ - $5$ 直角三角形的矩形对角线，其长度是该对角线长度的一个固定比例。

Each segment $\overline{P_kQ_k}$ is parallel to the $3$ - $4$ - $5$ diagonal and is a fixed fraction of its length

大提示：

两组边上的作图得到两个相同的等差和；别忘了计入 $\overline{AC}$ 。

The two side constructions give two identical arithmetic sums; remember to include $\overline{AC}$

解答：

设 $A=(0,0)$ 、 $B=(4,0)$ 、 $C=(4,3)$ 。于是 $\begin{aligned}P_k&=\left(\frac{4k}{168},0\right),\\Q_k&=\left(4,3-\frac{3k}{168}\right)\end{aligned}\text{，}$ 由 $3$ - $4$ - $5$ 的边长比可得 $P_kQ_k=5\left(1-\frac{k}{168}\right)\text{。}$ 因此一组作图中的线段总长为 $5\sum_{k=1}^{167}\left(1-\frac{k}{168}\right)=\frac{5\cdot167}{2}\text{。}$ 另外两边上的作图所得总长相同，而 $AC=5$ 。所以所求的和为 $5(167)+5=840$ 。

Put $A=(0,0),$ $B=(4,0),$ and $C=(4,3).$ Then $\begin{aligned}P_k&=\left(\frac{4k}{168},0\right),\\Q_k&=\left(4,3-\frac{3k}{168}\right),\end{aligned}$ so the $3$ - $4$ - $5$ ratio gives $P_kQ_k=5\left(1-\frac{k}{168}\right).$ Hence one construction has total length $5\sum_{k=1}^{167}\left(1-\frac{k}{168}\right)=\frac{5\cdot167}{2}.$ The construction on the other two sides has the same total, and $AC=5.$ Thus the requested sum is $5(167)+5=840.$

1991 AIME 第 2 题

答案：840

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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