Question

正实数 $b \ne 1$ 和 $n$ 满足方程 $\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}$ 以及 $b \cdot \log_b n = \log_b (bn)\text{。}$ $n$ 的值为 $\frac{j}{k}$ ，其中 $j$ 和 $k$ 是互质的正整数。求 $j + k$ 。

Positive real numbers $b \ne 1$ and $n$ satisfy the equations $\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}$ and $b \cdot \log_b n = \log_b (bn).$ The value of $n$ is $\frac{j}{k},$ where $j$ and $k$ are relatively prime positive integers. Find $j + k.$

答案

答案：881

知识点：对数换元法

难度评级：2100

小提示：

令 $x = \log_b n$ ，把两个方程都改写成关于 $x$ 和 $b$ 的式子。

Set $x = \log_b n$ and rewrite both equations in terms of $x$ and $b.$

大提示：

第一个方程迫使 $\sqrt{x} = \frac{x}{2}$ ；舍去不满足第二个方程的根，而第二个方程为 $bx = 1 + x$ 。

The first equation forces $\sqrt{x} = \frac{x}{2};$ discard the root that breaks the second equation, which reads $bx = 1 + x.$

解答：

令 $x = \log_b n$ 。第一个方程给出 $\sqrt{x} = \log_b n^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$ ，所以 $x = \frac{x^2}{4}$ ，得到 $x = 0$ 或 $x = 4$ 。若 $x = 0$ ，则 $n = 1$ ，第二个方程会变成 $0 = \log_b b = 1$ ，矛盾；因此 $x = 4$ 。

第二个方程给出 $bx = \log_b b + \log_b n = 1 + x$ ，所以 $4b = 5$ ，从而 $b = \frac{5}{4}$ 。于是 $n = b^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256}\text{，}$ 这已经是最简分数，所以 $j + k = 625 + 256 = 881$ 。

Let $x = \log_b n.$ The first equation says $\sqrt{x} = \log_b n^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{2},$ so $x = \frac{x^2}{4},$ giving $x = 0$ or $x = 4.$ If $x = 0$ then $n = 1,$ and the second equation would read $0 = \log_b b = 1,$ impossible; so $x = 4.$

The second equation says $bx = \log_b b + \log_b n = 1 + x,$ so $4b = 5$ and $b = \frac{5}{4}.$ Then $n = b^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256},$ which is in lowest terms, so $j + k = 625 + 256 = 881.$

2023 AIME I 第 2 题

答案：881

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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