Question

求有序三元组 $(a, b, c)$ 的个数，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数， $a$ 是 $b$ 的因数， $a$ 是 $c$ 的因数，且 $a + b + c = 100$ 。

Find the number of ordered triples $(a, b, c)$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, $a$ is a factor of $b,$ $a$ is a factor of $c,$ and $a + b + c = 100.$

答案

答案：200

知识点：整除性丢番图方程分类讨论

难度评级：2070

小提示：

因为 $a$ 同时整除 $b$ 和 $c$ ，它也必须整除 $a + b + c = 100$ 。

Since $a$ divides both $b$ and $c,$ it must divide $a + b + c = 100$

大提示：

令 $b = as$ 且 $c = at$ ：则 $s + t = \frac{100}{a} - 1$ ，它有 $\frac{100}{a} - 2$ 个正整数解。

Write $b = as$ and $c = at:$ then $s + t = \frac{100}{a} - 1,$ which has $\frac{100}{a} - 2$ positive solutions

解答：

因为 $a$ 整除 $b$ 和 $c$ ，所以它整除 $a + b + c = 100$ 。令 $b = as$ 且 $c = at$ ，其中 $s, t \ge 1$ ；则 $a(1 + s + t) = 100$ ，所以 $s + t = \frac{100}{a} - 1\text{。}$ 对正整数 $s$ 和 $t$ ，需要 $\frac{100}{a} \ge 3$ ，因而 $a \in \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25\}$ 。

对每个这样的 $a$ ，方程 $s + t = \frac{100}{a} - 1$ 有 $\frac{100}{a} - 2$ 个有序正整数解。求和得 $\begin{aligned} &\small (100 + 50 + 25 + 20 + 10 + 5 + 4) \\ &\quad {}- 2 \cdot 7 \\ &= 214 - 14 = 200 \end{aligned}\text{。}$

Since $a$ divides $b$ and $c,$ it divides $a + b + c = 100.$ Write $b = as$ and $c = at$ with $s, t \ge 1;$ then $a(1 + s + t) = 100,$ so $s + t = \frac{100}{a} - 1.$ For positive $s$ and $t$ we need $\frac{100}{a} \ge 3,$ so $a \in \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

For each such $a,$ the equation $s + t = \frac{100}{a} - 1$ has $\frac{100}{a} - 2$ ordered positive solutions. Summing, $\begin{aligned} &\small (100 + 50 + 25 + 20 + 10 + 5 + 4) \\ &\quad {}- 2 \cdot 7 \\ &= 214 - 14 = 200. \end{aligned}$

2007 AIME II 第 2 题

答案：200

难度评级：2070

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