Question

在单位正方形 $S$ 的内部随机选取一点 $P$ 。令 $d(P)$ 表示 $P$ 到 $S$ 最近边的距离。满足 $\frac{1}{5} \le d(P) \le \frac{1}{3}$ 的概率等于 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

A point $P$ is chosen at random in the interior of a unit square $S.$ Let $d(P)$ denote the distance from $P$ to the closest side of $S.$ The probability that $\frac{1}{5} \le d(P) \le \frac{1}{3}$ is equal to $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：281

知识点：几何概率面积

难度评级：2020

小提示：

到每条边距离至少为 $t$ 的点集，是一个同心正方形，边长为 $1 - 2t$ 。

The set of points at distance at least $t$ from every side is a concentric square of side $1 - 2t$

大提示：

有利区域在边长 $\frac{3}{5}$ 的正方形内，并在边长 $\frac{1}{3}$ 的正方形外；作面积相减。

The favorable region lies inside the square of side $\frac{3}{5}$ and outside the square of side $\frac{1}{3};$ subtract areas

解答：

满足 $d(P) \ge t$ 的点形成边长为 $1 - 2t$ 的同心正方形。因此 $d(P) \ge \frac{1}{5}$ 使 $P$ 位于边长 $\frac{3}{5}$ 的同心正方形内，而 $d(P) \le \frac{1}{3}$ 使 $P$ 位于边长 $\frac{1}{3}$ 的开同心正方形之外。

因为单位正方形面积为 $1$ ，所求概率就是这两个正方形之间的面积： $\begin{aligned} &\left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{81 - 25}{225} = \frac{56}{225} \end{aligned}\text{。}$ 所以 $m + n = 56 + 225 = 281$ 。

The points with $d(P) \ge t$ form a concentric square of side $1 - 2t.$ So $d(P) \ge \frac{1}{5}$ puts $P$ inside the concentric square of side $\frac{3}{5},$ and $d(P) \le \frac{1}{3}$ keeps $P$ outside the open concentric square of side $\frac{1}{3}.$

Since the unit square has area $1,$ the probability is the area between those two squares: $\begin{aligned} &\left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{81 - 25}{225} = \frac{56}{225}. \end{aligned}$ Thus $m + n = 56 + 225 = 281.$

2010 AIME II 第 2 题

答案：281

难度评级：2020

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题