Question

存在一个复数 $z$ ，其虚部为 $164$ ，并且存在一个正整数 $n$ ，使得 $\frac{z}{z + n} = 4i\text{。}$ 求 $n$ 。

There is a complex number $z$ with imaginary part $164$ and a positive integer $n$ such that $\frac{z}{z + n} = 4i.$ Find $n.$

答案

答案：697

知识点：复数代数变形

难度评级：2060

小提示：

令 $z = a + 164i$ ，并去掉分母： $z = 4i(z + n)$ 。

Write $z = a + 164i$ and clear the denominator: $z = 4i(z + n)$

大提示：

展开 $4i(z + n)$ ，分别比较实部和虚部，先求 $a$ ，再求 $n$ 。

Expand $4i(z + n)$ and match real parts, then imaginary parts, to find $a$ and then $n$

解答：

令 $z = a + 164i$ 。去掉分母，得 $z = 4i(z + n)$ ，也就是 $\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i \end{aligned}\text{。}$

比较实部得 $a = -656$ ，比较虚部得 $164 = 4(a + n)$ ，所以 $a + n = 41$ ，从而 $n = 41 + 656 = 697$ 。

Write $z = a + 164i.$ Clearing the denominator gives $z = 4i(z + n),$ that is, $\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}$

Real parts give $a = -656,$ and imaginary parts give $164 = 4(a + n),$ so $a + n = 41$ and $n = 41 + 656 = 697.$

2009 AIME I 第 2 题

答案：697

难度评级：2060

小提示：

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解答：

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