2009 AIME I Problem 2 — Solution | LIVE by Po-Shen Loh

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2009 AIME I Problem 2

Below is the professionally curated solution for Problem 2 of the 2009 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2009 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:complex number algebraic manipulation

Difficulty rating: 2060

2.

There is a complex number $z$ with imaginary part $164$ and a positive integer $n$ such that $\frac{z}{z + n} = 4i.$ Find $n.$

答案

Solution:

Write $z = a + 164i.$ Clearing the denominator gives $z = 4i(z + n),$ that is, $a + 164i = 4i\,(a + n + 164i) = -656 + 4(a + n)i.$

Real parts give $a = -656,$ and imaginary parts give $164 = 4(a + n),$ so $a + n = 41$ and $n = 41 + 656 = 697.$

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