Question

一个面积为正的三角形的三边长分别为 $\log_{10} 12$ 、 $\log_{10} 75$ 和 $\log_{10} n$ ，其中 $n$ 是正整数。求 $n$ 的可能取值个数。

The lengths of the sides of a triangle with positive area are $\log_{10} 12,$ $\log_{10} 75,$ and $\log_{10} n,$ where $n$ is a positive integer. Find the number of possible values for $n.$

答案

答案：893

知识点：三角不等式对数

难度评级：1890

小提示：

三条边长必须满足三角形不等式；其中两个条件会从两侧限制 $\log_{10} n$ 。

The three lengths must satisfy the triangle inequality; two of the three conditions bound $\log_{10} n$ from both sides.

大提示：

$\log 75 - \log 12$ $\lt \log n \lt$ $\log 75 + \log 12$ ，所以 $\frac{25}{4} \lt n \lt 900$ 。

$\log 75 - \log 12$ $\lt \log n \lt$ $\log 75 + \log 12,$ so $\frac{25}{4} \lt n \lt 900.$

解答：

三角形不等式要求 $\log n \lt \log 12 + \log 75 = \log 900$ ，以及 $\log 12 + \log n \gt \log 75$ ，即 $\log n \gt \log 75 - \log 12 = \log \frac{25}{4}$ 。剩下的不等式 $\log 75 + \log n \gt \log 12$ 自动成立，因为 $n \ge 1$ 且 $75 \gt 12$ 。

因此 $\frac{25}{4} \lt n \lt 900$ ，对整数来说就是 $7 \le n \le 899$ 。共有 $899 - 7 + 1 = 893$ 个可能的 $n$ 值。

The triangle inequality requires $\log n \lt \log 12 + \log 75 = \log 900$ and $\log 12 + \log n \gt \log 75,$ that is $\log n \gt \log 75 - \log 12 = \log \frac{25}{4}.$ The remaining inequality, $\log 75 + \log n \gt \log 12,$ is automatic because $n \ge 1$ and $75 \gt 12.$

So $\frac{25}{4} \lt n \lt 900,$ which for integers means $7 \le n \le 899.$ That gives $899 - 7 + 1 = 893$ possible values of $n.$

2006 AIME II 第 2 题

答案：893

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题