Question

对任意正整数 $k$ ，令 $f_1(k)$ 表示 $k$ 的各位数字之和的平方。对 $n\geq2$ ，令 $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k))$ 。求 $f_{1988}(11)$ 。

For any positive integer $k,$ let $f_1(k)$ denote the square of the sum of the digits of $k.$ For $n\geq2,$ let $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).$ Find $f_{1988}(11).$

答案

答案：169

知识点：数字递推找规律

难度评级：1690

小提示：

计算前几次迭代，直到某个值重复出现

Compute the first several iterates until a value repeats

大提示：

经过开头的若干项后，数列在两个数之间交替

After the transient values, the sequence alternates between two numbers

解答：

迭代值依次从 $4$ 、 $16$ 、 $49$ 、 $169$ 、 $256$ 开始，随后为 $169$ 、 $256$ 、 $\ldots$ 。因此从第四次迭代起，偶数下标对应 $169$ ，奇数下标对应 $256$ 。因为 $1988$ 是偶数，所以 $f_{1988}(11)=169$ 。

The iterates begin $4,$ $16,$ $49,$ $169,$ $256,$ followed by $169,$ $256,$ $\ldots.$ Thus from the fourth iterate onward, even indices give $169$ and odd indices give $256.$ Since $1988$ is even, $f_{1988}(11)=169.$

1988 AIME 第 2 题

答案：169

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题